対移動平均比率法

対移動平均比率法（たいいどうへいきんひりつほう、英: ratio-to-moving-average method）は，過去の時系列データから，将来の数値を予測する方法の一つ。需要予測などに用いる。季節変動や曜日変動などの周期性がある場合に有効である。移動平均法の一種であり、比較的単純な方法であるが、実用的な結果を出すことが多い。竹安数博らが1997年に発表した^[1]。

原理

まず、過去のデータから各季節ごとの季節指数を求める。次に、傾向を延長し、それに季節指数を掛けて予測値を得る。

需要などの変動は、傾向変動、循環変動、季節変動、不規則変動などに分解される。

対移動平均比率法では、時系列データ A を傾向変動 (F) と季節変動 (E) の積として捉える。1周期分（例えば1年分）のデータの平均値は、季節変動を除去した値になる。平均値を取る範囲をずらしていくと滑らかな系列（移動平均）B が得られる。そして、原データ A の平均値 B に対する比（対移動平均比率）C を季節ごとに平均した値（季節別平均値）D を正規化して、季節ごとの係数である季節指数 E を知る。

元の時系列データ A を季節指数 E で割れば、季節変動を取り除いた滑らかな系列 F が得られる（F には循環変動と不規則変動だけが残っている）。これを回帰分析して、傾向変動（トレンド）とする（傾向推定）。将来を予測するときは、まず回帰式によって傾向値 F を延長して将来の傾向値 f を推測（外挿）し、次に各季節の季節指数 E を掛けて予測値を得る。

「季節変動」は、必ずしも1年を周期とする季節に限らず、1週を周期とする曜日（曜日変動）でもよい。（竹安ら^[2]は、これらを総括して「期間変動」と呼んでいる。そのとき、季節指数を「期間指数」と呼ぶ。）循環の周期が一定している変動ならば、この方法が適用できる。

手法

ここでは、1年を周期とする「季節変動」をもつ春・夏・秋・冬ごとの季節データを想定して、手法の用語を記述する。過去の数周期分のデータがあるとする。

1. 周期性をもつ時系列の原データ A から、1周期分の移動平均の系列 B を計算する。
2. 各季節データ A の移動平均 B に対する比率（対移動平均比率）C を計算する。
3. 各季節ごとに対移動平均比率 C の平均値（季節別平均値）D を計算する。
4. 季節別平均値 D を D 全体の平均値で割って、各季節の季節指数 E を得る。^[3]
5. 原データ A を季節指数 E で割り、滑らかな傾向値 F を得る。
6. 過去の傾向値 F を（最小二乗法によって）回帰分析する。
7. 将来の傾向値 f を（回帰式によって）推測する。
8. 将来の推測値 f に季節ごとの季節指数 E を掛けた予測値を計算する。

実は、1周期内のデータ数（春・夏・秋・冬の場合は 4）が偶数の場合は移動平均の計算に少し工夫が必要であり、その手法は下の 3.2（#周期が偶数である場合）に示す。

数値例

まず、1周期内のデータ数が奇数である場合の数値例によって、手法の主要部分の実際を示す。

周期が奇数である場合

1週を周期とする曜日変動のある場合の計算例とそのグラフを示す。過去の3周期分（先々週から今週まで）の日ごとのデータから、来週1週間分を予測する。

表の下にある段階 6. 傾向の推定 では、傾向値を推定する何らかの手法を用いる。ここでは、直線による回帰分析をしている。

6. 傾向の推定 - 傾向値の系列 F_x から最小二乗法によって回帰直線 f = ax + b の係数を求めると、a = 2.29, b = 177.2 を得る。ここで、x はデータの番号とする (x = 0, 1, 2, ..., 20)。

7. 推測値 - 回帰直線 f = 2.29x + 177.2 を用いて、来週の傾向値データ f_x を推測する (x = 21, 22, ..., 27)。

周期が偶数である場合

1周期内のデータ数が偶数である場合には、1. 移動平均 B を計算するときに少し工夫が要る。例えば、単純移動平均をさらに二つずつ平均する方法がある^[1]。こうすると移動平均の項数が1つ少なくなるが、各季節の前後のデータを対称かつ均等に扱った平均値が得られる。

例えば、表の左下隅の値 188.3 は、前々年の春と前年の春'を平均した値と、夏，秋，冬の値との平均になっている。

188.3 ＝ { 186.8 ＋ 189.8 } / 2
      ＝ { (春＋夏＋秋＋冬)/4 ＋ (夏＋秋＋冬＋春')/4 } / 2
      ＝ {  春    ＋  2×(夏＋秋＋冬)  ＋     春'}/4  / 2
      ＝ {  春/2  ＋      夏＋秋＋冬   ＋   春'/2}/4  …… 秋を中心として対称
      ＝ { (春＋春')/2 ＋夏＋秋＋冬 }/4

歴史

対移動平均比率法は、竹安数博が開発し、1997年に『新しい経営数学』^[1]で発表した。

竹安らは、2006年にこの手法に関しての特許を取得している^[2]。

脚注

1. ^ ^{a b c} 佃純誠, 竹安数博, 村松健児『新しい経営工学』中央経済社, 1997, pp. 194-197。ISBN 978-4502408854.
2. ^ ^{a b} 竹安数博、樋口友紀「データ予測装置、データ予測プログラム」j-platpat, 公開日：2006年12月07日（公開番号：2006331312号）。
3. ^ 季節指数 E の平均値は、常に 1 になる。
   証明： 季節別平均値を d₁, d₂, …, d_n とし，それらの平均値を μ とする。d₁/μ, d₂/μ, …, d_n/μ の平均値は、(d₁/μ + d₂/μ + … + d_n/μ)/n = (1/μ)(d₁ + d₂ + … + d_n)/n = (1/μ)μ = 1 である。

関連項目

• 傾向推定
• 季節調整
• 英語版 Seasonality - 節 3 Caluculation に 3.3 ratio-to-moving-average method が記述されている。

外部リンク

• 特許: 竹安数博、樋口友紀「データ予測装置、データ予測プログラム」公開番号: 特開2006-331312, 公開日: 2006年12月07日。

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
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