共分散

共分散（きょうぶんさん、英: covariance）とは、大きさが同じ2つのデータの間での、平均からの偏差の積の平均値である^[1]。2 組の確率変数 X, Y の共分散 Cov[X, Y] は、E で期待値を表すことにして、

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])]}$

で定義する。

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {E} [(XY)]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$ とも定義できる。

X と Y の共分散は ${\displaystyle \sigma _{XY}}$ や ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ と表記されることもある。

例

例として、中学生の数学と国語のテストの点数の共分散を考える。まず、山田さんの偏差の積を計算する。

同様にして、生徒全員について、偏差の積を平均したものが、数学と国語の共分散になる。

数学が平均より高い生徒が、国語も平均より高いテストの点を取っていると、共分散の合計は大きな正の値をとる。逆の関係があれば、大きな負の値をとる。共分散が 0 なら特にそのような関連性はないと考えられる。ちなみにこの関連性は直線的なもの（1次関数）を指している。

共分散は、もとの値の大きさで数値が決まるので、単位が違う変数を複数比較するときなどに解釈が難しい。たとえば市町村単位で、その町ごとの人口と、ラーメン店の売上の共分散を計算しても、数字の意味が分かりにくい。

そこで関係を見る場合には相関係数を使うことが一般的である。共分散の値を、各変数（例なら国語と数学）の標準偏差の積で割ったものが相関係数となる。相関係数は −1 から 1 までの値をとる。1 であれば 2 つの変数の値は完全に同期していることになる。対象によってかなり相関係数の意味は変わってくるが、一例としてはアンケートでは以下の表のような見方もある。

因果関係

共分散や相関係数を因果関係の根拠として記述している資料がある。しかし、共分散自身は1つの対象の2つの測定値が対応しているということの指標に過ぎない。因果関係があるかどうかは示していない。共分散を計算する際に、時間、関連を入力していない。共分散構造分析など、複数の共分散を分析する手法では因果関係があるかどうかを推測する使い方があるが、同じ様に時間、関連を入力していないので保証はしていない。因果関係と相関関係は別次元の事象であり、時間と直接的な関係を示す根拠、擬相関などいくつかの代表的なパターンがある^[要出典]。数値から意味を解釈する人間の論理は、しばしば嘘と呼ぶことがある。数理経済学者の佐和隆光は以下のように述べている^[2]：

しばしば統計は、他人をだますための方便ともなる。統計の悪用と誤用は、日常茶飯のごとく見受けられる。数字の氾濫するこの世の中において、「統計のウソ」に対する抵抗力を備えておくことは、将来どういう仕事に携わる人にとっても必要不可欠なはずである。

脚注

参考文献

• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。 
• 佐和隆光『初等統計解析 改訂版』新曜社、1985年。ISBN 9784788502246。 

関連項目

• 分散 (統計学)
• 自己共分散
• 共分散構造分析

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
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