トレンド定常

トレンド定常（トレンドていじょう、英: trend stationary）であるとは、統計学における時系列分析において、確率過程が、その潜在的なトレンド（時間のみの関数）を取り除けば、定常過程となる場合を指す^[1]。

正式な定義

確率過程 {Y } がトレンド定常であるとは、以下を満たす時を言う^[2]。

${\displaystyle Y_{t}=f(t)+e_{t},}$

ここで t は時間であり、f は実数から実数への関数である。そして {e } は定常過程である。関数値 ${\displaystyle f(t)}$ は t 時点におけるこの確率過程のトレンドの値と言われる。

単純な例:線形トレンド周りでの定常性

変数 Y が以下のように変動すると仮定する。

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+b+e_{t}}$

ここで t は時間であり、e_t は誤差項であって、ホワイトノイズもしくはより一般に何らかの定常過程と仮定されているものとする。この時、真のトレンドの傾き ${\displaystyle a}$ の推定値 ${\displaystyle {\hat {a}}}$ と真の切片 b の推定値 ${\displaystyle {\hat {b}}}$を得るために線形回帰を用いることが出来る^[2][3][4]。もし、推定値 ${\displaystyle {\hat {a}}}$ が有意に0と異なれば、それは変数 Y が非定常であるということの信頼できる証拠としては十分である。この回帰の残差は以下で与えられる。

${\displaystyle {\hat {e}}_{t}=Y-{\hat {a}}\cdot t-{\hat {b}}.}$

もし推定された残差が統計的に定常であると示すことができるのならば（より正確には、真の誤差項が非定常であるという仮説が棄却できるのならば）、残差はデトレンドされた（英: detrended）データとなり^[5]、元の系列 {Y_t} は定常ではないものの、トレンド定常過程であると言える。

異なるタイプのトレンド周りでの定常性

指数成長トレンド

多くの経済時系列は指数成長（英語版）によって特徴付けられる。例えば、国内総生産（GDP）が定数の成長率であるトレンドからの定常な逸脱によって特徴付けられるとしよう。この時、GDPは以下のようにモデル化される。

${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}=Be^{at}U_{t}}$

ここで U_t は定常な誤差過程として仮定されている。パラメーター ${\displaystyle a}$ と B の推定のために、まずこの方程式の両辺の自然対数（ln）を取る^[5]。

${\displaystyle \ln({\text{GDP}}_{t})=\ln B+at+\ln(U_{t}).}$

この対数線形（英語版）方程式は前の線形トレンド方程式と同じ形をしており、同じ方法でデトレンドすることができる。${\displaystyle (\ln U)_{t}}$ が非定常であるという仮説が棄却されたのであれば、${\displaystyle (\ln {\text{GDP}})_{t}}$ のデトレンドされた値として推定値、つまりインプライドな ${\displaystyle (\ln U)_{t}}$ が得られる。

2次トレンド

トレンドは線形もしくは対数線形でなくてはならないというわけではない。例えば、2次トレンドを持つことも許容される。

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+c\cdot t^{2}+b+e_{t}.}$

この式は、説明変数として t と t² を用いれば線形回帰が行える。繰り返すが、残差が定常であるとわかれば、その残差は ${\displaystyle Y_{t}}$ をデトレンドした値となる。

トレンド定常ではないが定常過程に変換できる非定常過程

トレンド定常過程のみが定常過程に変換可能な非定常過程であるわけではない。他の有名な変換可能である確率過程として1次もしくはそれ以上のオーダーの単位根過程がある^[2][3][4][5]。

脚注

関連項目

• トレンド推定
• 時系列の分解（英語版）

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存分析	生存関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
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