コルモゴロフ–スミルノフ検定

コルモゴロフ–スミルノフ検定（コルモゴロフ–スミルノフけんてい、英: Kolmogorov–Smirnov test）は統計学における仮説検定の一種であり、有限個の標本に基づいて、二つの母集団の確率分布が異なるものであるかどうか、あるいは母集団の確率分布が帰無仮説で提示された分布と異なっているかどうかを調べるために用いられる。しばしばKS検定と略される。

1標本KS検定は、経験分布を帰無仮説において示された累積分布関数と比較する。主な応用は、正規分布および一様分布に関する適合度検定である。正規分布に関する検定については、リリフォースによる若干の改良が知られている（リリフォース検定）。正規分布の場合、一般にはリリフォース検定よりもシャピロ-ウィルク検定やアンダーソン-ダーリング検定の方がより強力な手法である。

2標本KS検定は、二つの標本を比較する最も有効かつ一般的なノンパラメトリック手法の一つである。これは、この手法が二つの標本に関する経験分布の位置および形状の双方に依存するためである。

検定統計量

n個の標本y₁, y₂, ..., y_nに対する経験分布F_nは以下のように与えられる。

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\#\{\,1\leq i\leq n\mid y_{i}\leq x\,\}}{n}}}$

このとき F(x) を帰無仮説で提示される分布、またはもう一方の経験分布とすると、二つの片側KS検定統計量は、以下で与えられる^[1]。

${\displaystyle D_{n}^{+}=\sup _{x}(F_{n}(x)-F(x))}$

${\displaystyle D_{n}^{-}=\sup _{x}(F(x)-F_{n}(x))}$

二つの分布が等しいという帰無仮説が棄却されないと仮定する場合、上記の二つの統計量が従うべき確率分布は、仮説で提示される分布が連続分布である限りにおいて、分布の形に依存しない。

クヌースはこの1対の統計量に関する有意性を解析する方法に関する詳細な記述を与えている。多くの人々は2つの統計量の代わりに

${\displaystyle D_{n}=\sup _{x}\vert F_{n}(x)-F(x)\vert =\max(D_{n}^{+},D_{n}^{-})}$

という統計量を用いるが、この統計量の分布はさらに扱いにくい。

有意確率

1標本KS検定では、サンプル数nが十分大きいとき、経験分布F_n(x)が帰無仮説に従う（すなわち、経験分布が帰無仮説で提示された分布F(x)と一致する）と仮定した下での場合の検定量の分布は

${\displaystyle \operatorname {Prob} ({\sqrt {n}}D_{n}\leq x)=1-2\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{-(2i-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}}$

で与えられる。したがって、有意水準を${\displaystyle \alpha }$とするとき、検定量D_nが${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}>K_{\alpha }}$（ただし${\displaystyle K_{\alpha }}$は${\displaystyle \operatorname {Prob} ({\sqrt {n}}D_{n}\leq K_{\alpha })=1-\alpha .\,}$を満たす数）を満たすとき、帰無仮説は棄却され、経験分布F_n(x)は帰無仮説で提示された分布F(x)とは異なることが示唆される。

その他

1年のうちの1日や、あるいは1週間のうちの1日といったように、独立変数が周期性を持つ場合、カイパー検定の方がより適切である。数値解析の有名な著作である"Numerical Recipes"には、このことに関する詳しい情報が記載されている^[2]。

さらに、コルモゴロフ-スミルノフ検定は分布の裾の部分よりも中央値付近の方に強く依存する。これに対して、アンダーソン-ダーリング検定は裾でも中央値付近でも等しい感度を与える。

脚注

参考文献

• William H.Press, William T. Vetterling, Saul A. Teukolsky, Brian P. Flannery 著、丹慶勝市・奥村晴彦・佐藤俊郎・小林誠 訳『ニューメリカルレシピ・イン・シー日本語版―C言語による数値計算のレシピ』（1版）技術評論社、1993年。ISBN 978-4874085608。 
• Durbin, J. (1973). Distribution theory for tests based on the sample distribution function. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-007-6. MR0305507. https://books.google.com/books?id=zAryCrT1IUYC 

関連項目

• アンドレイ・コルモゴロフ
• リリフォース検定
• シャピロ-ウィルク検定
• アンダーソン-ダーリング検定
• ジャック-ベラ検定

外部リンク

• 分位数の表 — Pestman, Wiebe R. (2009). Mathematical statistics. de Gruyter Textbook (Second ed.). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-020852-8. MR2516478. Zbl 1251.62001. https://books.google.com/books?id=9QHcJ8WQQ5UC 

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存分析	生存関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
カテゴリ