Symetrická diference

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

${\displaystyle A\,\triangle \,B}$

nebo

${\displaystyle A\div B}$

nebo

${\displaystyle A\ominus B.}$

Například symetrická diference množin ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ a ${\displaystyle \{3,4\}}$ je množina ${\displaystyle \{1,2,4\}}$. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina libovolné množiny s operací symetrické diference je abelovou grupou; neutrální prvek grupy je prázdná množina, a protože symetrická diference množiny se sebou samou je prázdná množina, tak každý prvek potenční množiny je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)}$

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B)}$

nebo pomocí operace XOR:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}$

Zvláště pak platí, že:

${\displaystyle A\triangle B\subseteq A\cup B.}$

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,}$

${\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).\,}$

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

${\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C),}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetric difference na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu symetrická diference na Wikimedia Commons

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine