Doplněk množiny

V matematice se pojmy doplněk množiny ${\displaystyle A}$ nebo komplement množiny ${\displaystyle A}$ označuje množina ${\displaystyle A^{C}}$ všech prvků, které nejsou v ${\displaystyle A}$ a přitom v nějaké jiné (předem dané) množině jsou obsaženy (na obrázku v ${\displaystyle U}$). Aby bylo možné doplněk definovat, je třeba znát množinu, vzhledem ke které se doplněk počítá. Je to operace ekvivalentní množinovému rozdílu ${\displaystyle U-A}$.

Místo ${\displaystyle A^{c}}$ se někdy užívá značení ${\displaystyle A'}$ nebo ${\displaystyle -A}$

Formální definice

Máme-li množinu ${\displaystyle U}$ a její podmnožinu ${\displaystyle A}$, definujeme doplněk množiny ${\displaystyle A}$ vzhledem k množině ${\displaystyle U}$ jako ${\displaystyle A^{C}=\{x\mid x\in U\wedge x\not \in A\}}$. Tedy ${\displaystyle A^{C}}$ obsahuje všechny prvky, které jsou v ${\displaystyle U}$, ale nejsou v ${\displaystyle A}$.

Pokud máme pevně danou univerzální množinu ${\displaystyle U}$, můžeme zkráceně hovořit jen o „doplňku ${\displaystyle A}$“.

Příklady

Pokud ${\displaystyle U=\{a,b,c\}}$ je univerzální množina a ${\displaystyle A=\{b\}}$, je ${\displaystyle A^{C}=\{a,c\}}$

Pokud za univerzální množinu vezmeme množinu všech přirozených čísel bez nuly, doplňkem všech lichých čísel je množina všech sudých čísel. Doplňkem množiny ${\displaystyle \{1,2\}}$ je pak množina všech přirozených čísel větších než 2.

Pokud jsou univerzální množinou reálná čísla, je doplňkem všech algebraických čísel množina všech transcendentních čísel.

Vlastnosti

Následující pravidla uvádí několik základních vlastností doplňku množiny. Mějme univerzální množinu ${\displaystyle U}$ a její podmnožiny ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$

• A ∪ A^C  =  U
• A ∩ A^C  =  ∅
• ∅^C  =  U
• U^C  =  ∅
• Pokud A⊆B, pak B^C⊆A^C
• A^CC  =  A.

De Morganovy zákony:

• (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
• (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Související články

• Množinové operace
• Průnik
• Sjednocení
• Rozdíl množin
• UNION

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine