Kartézský součin

Ilustrace kartézského součinu A × B {\displaystyle A\times B} množin A = { x , y , z } {\displaystyle A=\{x,y,z\}} a B = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle B=\{1,2,3\}}

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin X {\displaystyle X} a Y {\displaystyle Y} je množina, označená X × Y {\displaystyle X\times Y} , která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny X {\displaystyle X} a druhá položka je prvkem množiny Y {\displaystyle Y} . Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Například kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.

Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi René Descartovi, z jehož formulací analytické geometrie je tento koncept odvozen.

Formální definice

X × Y = { ( x , y ) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } {\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}}

Například kartézským součinem množiny všech reálných čísel R {\displaystyle \mathbb {R} } se sebou samou vznikne rovina R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!} , což je možno psát jako R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} („kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí ( x , y ) : x , y ∈ R {\displaystyle (x,y):x,y\in \mathbb {R} } , viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

X 1 × X 2 × … × X n = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : x i ∈ X i , 1 ≤ i ≤ n } {\displaystyle X_{1}\times X_{2}\times \ldots \times X_{n}=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i},1\leq i\leq n\}}

Příkladem takového součinu je trojrozměrný euklidovský prostor R 3 = R × R × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} } .

Vlastnosti

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množin má mohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina ( A × B = ∅ {\displaystyle A\times B=\emptyset } ), pak je A = ∅ {\displaystyle A=\emptyset } nebo B = ∅ {\displaystyle B=\emptyset } .

Nekonečný součin

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

∏ i ∈ I X i = { f : I → ⋃ i ∈ I X i   |   ( ∀ i ) ( f ( i ) ∈ X i ) } {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\}}

Zde I {\displaystyle I} je množina indexů, { X i : i ∈ I } {\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}} je množina operandů (množin), indexovaná prvky I {\displaystyle I} .

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z I {\displaystyle I} do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots )} odpovídá takové funkci f {\displaystyle f} , u které f ( 1 ) = x 1 , f ( 2 ) = x 2 , … {\displaystyle f(1)=x_{1},f(2)=x_{2},\ldots }

Význam kartézského součinu

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině X {\displaystyle X} jsou určité podmnožiny X × X {\displaystyle X\times X} , operace na množině jsou určité podmnožiny X × X × X {\displaystyle X\times X\times X} .

Související články

Externí odkazy

Teorie množin
Axiomy
axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
 Vennův diagram průniku množin.
Množinové operace
Koncepty
Množiny
Teorie
Lidé