Bijekce

Bijekce (bijektivní zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení) je typ zobrazení, které je zároveň prosté i na. Bijekce je tedy zároveň injektivní zobrazení i surjektivní zobrazení. Bijektivní zobrazení přiřazuje každému prvku z cílové množiny právě jeden prvek z výchozí množiny.

Definice

Zobrazení $f\colon X\rightarrow Y$ nazýváme bijektivní, pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:

\forall y\in Y,\exists !x\in X:y=f(x)

Příklady

Mějme zobrazení $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definované takto: $f(x)=2x+1$ . Toto zobrazení je bijektivní, jelikož pro každé reálné číslo $y$ můžeme vyřešit rovnici $y=2x+1$ tak, že získáme právě jedno reálné číslo $x={\tfrac {1}{2}}(y-1)$ .

Na druhé straně, zobrazení $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definované jako $g(x)=x^{2}$ není bijektivní, a to ze dvou důvodů:

$g(1)=g(-1)$ , takže $g$ není injektivní
neexistuje $x$ tak, že $x^{2}=-1$ , takže $g$ není surjektivní

Kterákoli z těchto skutečností je dostatečná k ukázání, že $g$ není bijektivní.

Použití

Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin, tj. existuje-li libovolná bijekce mezi dvěma množinami, říkáme, že mají stejnou mohutnost. Např. lze zkonstruovat bijekci mezi množinou přirozených čísel a množinou racionálních čísel, tj. uvedené množiny mají stejnou mohutnost, jsou spočetné. Naproti tomu mezi množinou racionálních čísel a reálných čísel žádnou bijekci zkonstruovat nelze, tj. uvedené množiny nemají stejnou mohutnost, množina reálných čísel je nespočetná.