Naivní teorie množin

Jako naivní teorie množin je dnes označována původní teorie množin vytvořená Georgem Cantorem v druhé polovině 19. století. Název naivní je používán pro zdůraznění protikladu mezi Cantorovým intuitivním pojetím pojmu množina a dnes používanými axiomatickými systémy teorie množin.

Naivní teorie množin se nezabývá přesnou definicí pojmu „množina“, „uspořádaná dvojice“ apod. a pracuje s nimi způsobem, který se učí na základních a středních školách. Pouze odborníci, kteří se věnují matematice do hloubky, potřebují postavit svoje studium na pevném základu a proto pracují s axiomatickou teorií množin.

I přes použité slůvko naivní, které má v případě matematické teorie trochu hanlivý nádech, je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo mnoha vynikajících výsledků v oblasti zkoumání vlastností nekonečných množin (Cantorova věta, kardinální aritmetika, transfinitní indukce) – což byla ostatně hlavní Cantorova motivace pro její vytvoření.

Problémy nastávají teprve ve chvíli, kdy se naivní teorie množin pokouší pracovat s „příliš velkými“ množinami, jako je potence univerzální množiny v případě Cantorova paradoxu – obdobné je to ostatně i v případě mnohem známějšího Russellova paradoxu. Axiomatická teorie množin na tyto rozpory nachází solidní a konzistentní odpovědi.

Co je množina

Na otázku, co je to množina, odpovídá naivní teorie množin v podstatě obdobně jako paní učitelka v první třídě základní školy před tabulí plnou magnetických jablek a hrušek:

Množina je dobře definovaný soubor objektů.

Objektem obsaženým v množině může být v tomto pojetí cokoliv – čísla, lidé, jiné množiny atd. Důležité je, aby bylo „dobře definováno“ (nejlépe jazykem matematické logiky), které objekty do konkrétní množiny patří a které ne.

Rovnost a náležení

Jediným faktem, který hraje roli při práci s množinou v rámci teorie množin, je to, které objekty do ní náležejí. Relace náležení je obvykle značena ${\displaystyle x\in A\,\!}$ a znamená „objekt x je prvkem (náleží do) množiny A“.

Pokud přijmeme jako jeden ze způsobů, jak dobře definovat množinu, možnost vyjmenovat všechny její prvky, pak můžeme jako ${\displaystyle A=\{2,3,5,7\}\,\!}$ označit čtyřprvkovou množinu, která obsahuje čísla 2, 3, 5 a 7 (tj. ${\displaystyle 2\in A\,\!}$, ale ${\displaystyle 4\notin A\,\!}$).

Důležité je, že nemá smysl mluvit o tom, kolikrát nebo v jakém pořadí prvky do množiny patří – každý do ní prostě buď patří, nebo nepatří. Vrátíme-li se k ${\displaystyle A=\{2,3,5,7\}\,\!}$, můžeme napsat:

${\displaystyle A=\{3,5,7,2\}=\{2,2,5,3,5,7,7,7,7\}=\ldots \,}$,

ale na druhou stranu

${\displaystyle A\neq \{2,3,4,5,7\}\,\!}$, protože ${\displaystyle 4\notin A\,}$.

Dostáváme se k tomu, co vlastně znamená rovnost dvou množin: Dvě množiny jsou si rovny (nebo také shodné), pokud obsahují stejné prvky, formálně zapsáno:

${\displaystyle A=B\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\Leftrightarrow x\in B)\,}$.

Tato definice rovnosti si našla cestu i do axiomatických teorií množin jako axiom extenzionality.

Vydělení na základě výroku a množinové operace

Pokud je ${\displaystyle V(x)\,\!}$ jakýkoliv výrok s parametrem ${\displaystyle x\,\!}$ (například „x je sudé číslo“, „x má slabý magnet“, „x je kamarád kamaráda bývalého poslance PČR za ČSSD“) lze pomocí něj rozdělit všechny myslitelné objekty na dvě části – na množinu těch, které ${\displaystyle V(x)\,\!}$ splňují, kterou označíme ${\displaystyle S=\{x:V(x)\}\,\!}$, a na množinu těch, které jej nesplňují – mluvíme o doplňku množiny ${\displaystyle S\,\!}$.

Možností vydělovat objekty pomocí výroku (opět se této možnosti nevzdaly ani axiomatické systémy – viz schéma axiomů vydělení) získáváme velice silný nástroj, pomocí kterého můžeme definovat všechny běžně známé množinové operace – průnik, sjednocení, doplněk, kartézský součin, potenční množina.

V axiomatické teorii množin, kde je mnohem pečlivěji hlídáno, co je a co není množina, jsou k těmto účelům často zavedeny speciální axiomy, které tyto operace umožňují – viz například axiom sumy nebo axiom potence v článku Zermelova-Fraenkelova teorie množin.

Zajímavosti

• Cantor při vytváření této teorie byl údajně ovlivněn křesťanskou filosofií novotomismu.^[1]

Odkazy

Reference

Související články

• Burali-Fortiho paradox

Externí odkazy

• Naivní teorie množin – učební text VŠB
• Naivní teorie množin – učební text ČVUT Archivováno 30. 5. 2020 na Wayback Machine.

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine