Konečná množina

Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.

Definice

Konečnou množinu lze definovat několika ekvivalentními způsoby:

Výrok „x je konečná množina“ je obvykle zapisován symbolem F i n ( x ) {\displaystyle Fin(x)\,\!} .

Třída všech konečných množin je zapisována symbolem
F i n = { x : F i n ( x ) } {\displaystyle Fin=\{x:Fin(x)\}\,\!}

Význam

Bez ohledu na to, kterou definici vybereme, zachycuje pojem konečné množiny intuitivní význam slova konečný - konečné jsou takové soubory prvků, pro které lze určit jejich počet - nějaké přirozené číslo. Tento počet prvků odpovídá u konečných množin obecnějšímu pojmu mohutnost.

Tato možnost přiřadit konečné množině nějaké přirozené číslo jako její počet, znamená, že konečnou množinu lze vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny ω {\displaystyle \omega \,\!} všech přirozených čísel - každá konečná množina je tedy spočetná.

Všechny množiny se na základě pojmu konečnosti a spočetnosti rozpadají do tří kategorií:

  • konečné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na přirozené číslo
  • nekonečné spočetné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu všech přirozených čísel
  • ostatní - nespočetné

Příklady a vlastnosti

  • Prázdná množina je konečná.
  • Každé přirozené číslo (ve smyslu množinové definice přirozených čísel) je konečná množina.
  • ω {\displaystyle \omega \,\!} není konečná množina - vezmu-li například první definici, tak předpisem m = 2. n {\displaystyle m=2.n\,\!} lze ω {\displaystyle \omega \,\!} zobrazit na množinu všech sudých čísel, což je její vlastní podmnožina

Pokud platí F i n ( x ) , F i n ( y ) {\displaystyle Fin(x),Fin(y)\,\!} , pak také

  • F i n ( x ∪ y ) {\displaystyle Fin(x\cup y)\,\!} (sjednocení dvou konečných množin je konečné)
  • F i n ( x ∩ y ) {\displaystyle Fin(x\cap y)\,\!} (průnik dvou konečných množin je konečný)
  • F i n ( x × y ) {\displaystyle Fin(x\times y)\,\!} (kartézský součin dvou konečných množin je konečný)
  • F i n ( P ( x ) ) {\displaystyle Fin(\mathbb {P} (x))\,\!} (potenční množina konečné množiny je konečná)

Související články

Teorie množin
Axiomy
axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
 Vennův diagram průniku množin.
Množinové operace
Koncepty
Množiny
Teorie
Lidé