対称差

数学において、2 つの集合 A と B との対称差（たいしょうさ、英: symmetric difference^[1]）とは、“A に属し、B に属さないもの” と “B に属し、A に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である^[2]。一般に、集合 A と B との対称差を、記号

A△B^[2] あるいは A⊖B あるいは A⊕B

などで表す。例えば、{1, 2, 3} と {3, 4} との対称差は {1, 2, 4} に等しい： {1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}。

任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を算法としてアーベル群となる^[3]。空集合 ∅ はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を加法とし共通部分 ∩ を乗法とするとき、ブール環となる^[4]。

性質

対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる^[2]：

A△B = (A−B)∪(B−A)。

X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とする。集合 {0, 1} における二項演算として排他的論理和 ⊕ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1} を定義すれば、X における指示関数に関して次が成り立つ： X の任意の元 x に対して

χ _A△B (x) = χ _A (x) ⊕ χ _B (x)。

アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：

[ x ∈ A△B ] = [ x ∈ A ] ⊕ [ x ∈ B ]。

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる^[2]：

A△B = (A∪B)−(A∩B)。

特に、A△B は A∪B の部分集合である： A△B ⊂ A∪B。また、A と B とが互いに素であるときかつそのときに限り A△B = A∪B である。さらには、A△B と A∩B とは互いに素であって、集合 {A△B, A∩B} は A∪B の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

A∪B = (A△B)△(A∩B)

によって和集合を定義することもできる。

代数学的な性質

対称差について、次の 4 つが成り立つ^[2]：

(A△B)△C = A△(B△C) （結合法則）、
A△∅ = ∅△A = A、
A△A = ∅、
A△B = B△A （交換法則）。

X を 1 つの集合とし、P(X) を X の冪集合とする。P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させれば、P(X) における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して P(X) はアーベル群となる。空集合 ∅ はその群の単位元である。P(X) の任意の元 A に対して A は A の逆元であるから、P(X) はブール群でもある。X がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 P(X) はクラインの四元群 Z₂ × Z₂^{[注釈 1]}と同型である。

共通部分は対称差に対して分配法則を満たす^[2]：

A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)。

よって、X を 1 つの集合とするとき、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させて得られる二項算法を加法とし、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A∩B を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、P(X) は環となる。また、P(X) はブール環でもある。

その他の性質

X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

A△B = (X−A)△(X−B)。

Λ を 1 つの集合とし、Λ の各元 λ に対して 2 つの集合 A_λ , B_λ が定められているとき、次が成り立つ：

${\biggl (}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }{\biggr )}\bigtriangleup {\biggl (}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }{\biggr )}\subset \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\bigl (}A_{\lambda }\bigtriangleup B_{\lambda }{\bigr )}$

f を集合 S から集合 T への 1 つの写像とし、A, B を T の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

f ⁻¹(A△B) = f ⁻¹(A) △ f ⁻¹(B)。

多項対称差

対称差は結合法則と交換法則を満たすので、n個の集合A₀, …, A_n−1の対称差A₀ △ ⋯ △ A_n−1 = (⋯(A₀ △ A₁) △ ⋯ △ A_n−1)は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族　 ${\textstyle \{A_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ 　に対し以下のように拡張できる。

\mathop {\triangle } _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }={\biggl \{}a\in \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\mathrel {\bigg |} {\bigl |}\{\lambda \in \Lambda \mid a\in A_{\lambda }\}{\bigr |}{\text{ が 奇 数 }}{\biggr \}}

上記のような集合族について Λ 及び各 A_λ がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（和集合の場合にも同様の公式が成り立つ）。

{\Bigl |}\mathop {\triangle } _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }{\Bigr |}=\sum _{\mathrm {M} \subset \Lambda }(-2)^{|\mathrm {M} |-1}{\biggl |}\bigcap _{\lambda \in \mathrm {M} }A_{\lambda }{\biggr |}

測度空間上の対称差

2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。今 μ を集合 X 上の測度とし Σ を測度有限な可測集合全体とする。このときΣ×Σ上の関数のdを

d_{\mu }(A,B):=\mu (A\bigtriangleup B)

と定めると、これは Σ 上の擬距離になる。

この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が μ に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

A, B が Σ の元であるとき ${\bigl |}\mu (A)-\mu (B){\bigr |}\leq \mu (A\bigtriangleup B)$ が成立する。

脚注

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注釈

^ Z₂ は Z の 2Z による商群に等しい： Z₂ = Z/2Z。ここで、Z は加法群（整数全体の集合）、2Z は {2} によって生成される Z の部分群（偶数全体の集合）である。

出典

^ 小田　稔ほか編「symmtric dfference」『理化学英和辞典』JapanKnowledge、1998年。
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 松坂 1968, pp. 21–22 第1章 §2 問題7-9
^ 松坂 1976, p. 50 第2章 §2 問題9
^ 松坂 1976, p. 111 第3章 §1 問題8

参考文献

松坂, 和夫 (1968), 集合・位相入門, 日本: 岩波書店, ISBN 4-00-005424-4
松坂, 和夫 (1976), 代数系入門, 日本: 岩波書店, ISBN 4-00-005634-4

外部リンク

symmetric difference in nLab
Weisstein, Eric W. "Symmetric Difference". mathworld.wolfram.com (英語).
symmetric difference - PlanetMath.（英語）
Definition:Symmetric Difference at ProofWiki
Voitsekhovskii, M.I. (2001), “Symmetric difference of sets”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Symmetric_difference_of_sets