冪集合公理

数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。

ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：

${\displaystyle \forall A\,\exists P\,\forall B\,[B\in P\iff \forall C\,(C\in B\Rightarrow C\in A)]}$

ここで P は A の冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：

任意の集合 A が与えられたとき、ある集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ に属する。

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。

冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（英語版）においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。

帰結

冪集合公理は、二つの集合 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y);\ x\in X\land y\in Y\}.}$

ここで

${\displaystyle x,y\in X\cup Y,}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),}$

${\displaystyle (x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

であり、

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}:=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論（英語版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

参考文献

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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