後続順序数

集合論および順序論における順序数の後者 (successor) あるいは後続順序数（こうぞくじゅんじょすう、英: successor ordinal）とは、与えられた順序数 α に対し、α より大きい最小の順序数を言う。

性質

0 を除く任意の順序数は後続順序数か極限順序数の何れかである[1]。

フォンノイマンのモデル

「フォンノイマン基数割り当て（英語版）」も参照

集合論における標準的なモデルとしてフォンノイマンの順序数モデルは、順序数 α の後者 S(α) を等式

S ( α ) = α ∪ { α } {\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}
によって与える[1]。

順序数の順序付けにおいて α < β となるための必要十分条件は、α ∈ β となることであったから、ここから直ちに二つの順序数 α, S(α) の間にはほかの順序数はなく、かつ明らかに α < S(α) が成り立つ。すなわち、この S(α) は α の後者としての条件を満足していることが確かめられる。

順序数の和

詳細は「順序数の算術（英語版）」を参照

後者演算は（厳密には超限帰納法を通じて）順序数の和を定義するのに用いられる:[2]

α + 0 := α , α + S ( β ) := S ( α + β ) {\displaystyle \alpha +0:=\alpha ,\quad \alpha +S(\beta ):=S(\alpha +\beta )}
および、極限順序数 λ に対しては
α + λ := ⋃ β < λ ( α + β ) . {\displaystyle \alpha +\lambda :=\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).}

特に、S(α) = α + 1 が成り立つ。乗法や冪も同様に定義される。

位相

後続順序数および 0 は順序位相（英語版）に関して順序数全体の成す類の孤立点である[3]

関連項目

参考文献

  1. ^ a b Cameron 1999, p. 46.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Ordinal Addition". mathworld.wolfram.com (英語).
  3. ^ Devlin 1993, p. 100, Exercise 3C.
  • Cameron, Peter J. (1999), Sets, Logic and Categories, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, ISBN 9781852330569, https://books.google.com/books?id=sDfdbBQ75MQC .
  • Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 9780387940946, https://books.google.com/books?id=hCv-vFu4jskC .

外部リンク

  • successor ordinal in nLab
  • von Neumann ordinal - PlanetMath.（英語）
  • Definition:Successor Ordinal at ProofWiki
  • Successor Set of Ordinal is Ordinal at ProofWiki
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Ordinal number”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ordinal_number