Universo construível

Em matemática, o Universo construtível (ou Universo construtível de Gödel ou Hierarquia construtível), denotado por L, é uma classe de conjuntos definida por recursão transfinita. na qual, a diferença do Universo de von Neumann, o sucessor de uma classe não toma todos os subconjuntos, mas somente aquelas que são definíveis, num sentido específico desse termo.^[1] Podemos definir também, no âmbito filosofico, L como sendo o universo praticável fisicamente, não apenas de maneira abstrata. Por exemplo, um carro voador é algo que existe em potencia, porém não se encontra no Universo construtível.

Definição de L

L é definido numa hierarquia de níveis que são função dos ordinais, de maneira análoga ao Universo de von Neumann. A única diferença é que no passo sucessor, em lugar de tomar todos os subconjuntos, toma somente os "definíveis". Mas especificamente, dado um conjunto x e um subconjunto y de x, y⊆x, diz-se que y é x-definível, denotado por Def(x), se e somente se existe uma fórmula de primeira ordem φ satisfeita por todos e somente por os elementos de y em x (considerado como universo da interpretação).^[2] Dessa maneira, Def(x) ⊆ P(x).

• O primeiro nível é o conjunto vazio:

${\displaystyle L_{0}:=\emptyset }$.

• Para ${\displaystyle \alpha }$ um número ordinal:

${\displaystyle L_{\alpha +1}:=De\!f(L_{\alpha })}$

• Para ${\displaystyle \beta }$ um limite ordinal:

${\displaystyle L_{\beta }:=\bigcup _{\alpha <\beta }L_{\alpha }}$.

• Finalmente, sendo L a união de todos os L_α:

${\displaystyle \mathbf {\mathsf {L}} :=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {O} n}L_{\alpha }}$.

O uso do símbolo de união na última linha constitui, como na definição de ${\displaystyle \mathbf {\mathsf {V}} }$, um abuso da linguagem, de modo que ${\displaystyle x\in \mathbf {\mathsf {L}} }$ deve ser interpretado como "existe um ordinal ${\displaystyle \alpha }$ tal que ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$".

O Axioma de construtibilidade

Ver artigo principal: Axioma de construtibilidade

O enunciado "todo conjunto é construível", abreviado ${\displaystyle \mathbf {\mathsf {V}} =\mathbf {\mathsf {L}} }$ é verdadeiro no Universo Construível. Esse axioma, somado aos habituas de Zermelo-Fraenkel, implica o Axioma da escolha, hipótese do continuo generalizada, a negação da hipótese de Suslin e a existência de um conjunto de números reais ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$ não mensurável.

Referências