Conjunto transitivo

Na teoria dos conjuntos, um conjunto A é transitivo se, e somente se,

• sempre que x ∈ A e y ∈ x, y ∈ A, ou, equivalentemente,
• sempre que x ∈ A e x não é um urelemento, então x é um subconjunto de A.

Exemplos

Usando a definição de números ordinais sugerida por John von Neumann, números ordinais são definidos como conjuntos transitivos hereditários: um número ordinal é um conjunto transitivo cujos membros também são transitivos (e, portanto, ordinais).

Qualquer dos estágios V_α e L_α, levando à construção do universo de von Neumann V e do Universo construtível de Gödel L, são conjuntos transitivos. Os próprios universos L e V são classes transitivas.

This is a complete list of all finite transitive sets with up to 20 brackets:^[1]

• ${\displaystyle \{\},}$
• ${\displaystyle \{\{\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}$

Propriedades

Um conjunto X é transitivo se, e somente se, ${\displaystyle {\displaystyle \bigcup X\subseteq X}}$, onde ${\displaystyle {\displaystyle \bigcup X}}$ é a união de todos os elementos de X que são conjuntos, ${\displaystyle \bigcup X=\{y\mid (\exists x\in X)y\in x\}}$. Se X é transitivo, então ${\displaystyle \bigcup X}$ é transitivo. Se X e Y são transitivos, então X∪Y∪{X,Y} é transitivo. Em geral, se X é uma classe cujos elementos são conjuntos transitivos, segue que ${\displaystyle X\cup \bigcup X}$ é transitivo.

Um conjunto X que não contém urelementos é transitivo se e somente se for um subconjunto de seu conjunto das partes, O conjunto das partes de um conjunto transitivo sem urelementos é transitório.

Fecho transitivo

O fecho transitivo de um conjunto X é o menor (com respeito à inclusão) conjunto transitivo que contém X. Suponha que é dado um conjunto X, então o fecho transitivo de X é

${\displaystyle \bigcup \{X,\bigcup X,\bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \}.}$

Note que este é o conjunto de todos os objetos relacionados com X pelo fecho transitivo da relação de pertinência.

Modelo transitivo da teoria dos conjuntos

Classes transitivas são frequentemente utilizadas para a construção de interpretações da teoria dos conjuntos em si, normalmente chamados de modelos interiores. A razão é que as propriedades definidas pelas fórmulas delimitada são absolutas para classes transitivas

Um conjunto transitivo (ou classe) que é um modelo de um sistema formal da teoria dos conjuntos é chamado um modelo transitivo do sistema. A transitividade é um importante fator na determinação da absolutividade de fórmulas.

Na abordagem da superestrutura à análise não-padrão, os universos não-padrão satisfazem a transitividade forte.

Ver também

• End extension
• Transitive relation
• Supertransitive class

Referencias

• Ciesielski, Krzysztof (1997), Set theory for the working mathematician, ISBN 0-521-59441-3, London Mathematical Society Student Texts, 39, Cambridge: Cambridge University Press 
• Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis, ISBN 0-387-98464-X, Graduate Texts in Mathematics, 188, New York, NY: Springer-Verlag 
• Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973], The Axiom of Choice, ISBN 0-486-46624-8, Dover Publications 

Endereços externos

• Weisstein, Eric W. «Transitive» (em inglês). MathWorld 
• Weisstein, Eric W. «Transitive Closure» (em inglês). MathWorld 
• Weisstein, Eric W. «Transitive Reduction» (em inglês). MathWorld