Axioma do par

O axioma do par diz que, dados dois conjuntos, existe um conjunto no qual esses dois conjuntos são elementos.

Em termos um poucos mais técnicos, sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que ${\displaystyle A\in C\,}$ e ${\displaystyle B\in C\,}$.

Nota: existem formulações alternativas do axioma, que dizem que C não tem outro elemento além de A e B, e que C é único, mas, junto com os axiomas da extensão e da separação, mostra-se que essas formulações são equivalentes.

Em linguagem matemática, o axioma se escreve assim:

${\displaystyle \forall x,y\ \exists z\ (x\in z\land y\in z)\,}$

Usando-se os axiomas da extensão e da separação, chega-se ao seguinte teorema:

${\displaystyle \forall x,y\ \exists !z\ (x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y)))\,}$

Esboço da prova: o axioma da separação é usado para construir, a partir do z que existe, o conjunto

${\displaystyle \{w\in z:w=x\lor w=y\}\,}$

e o axioma da extensão garante que todos conjuntos z que satisfazem ${\displaystyle x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y))\,}$ são iguais.

Como esse conjunto que tem o par de conjuntos como elementos é único, podemos dar um nome para ele, a saber:

${\displaystyle \{x,y\}\,}$

Como nada nos axiomas obriga x a ser diferente de y, definimos também:

${\displaystyle \{x\}=\{x,x\}\,}$

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Axiomas de Zermelo-Fraenkel
• Par ordenado

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