Axioma da potência

Em matemática, o axioma da potência é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC)

Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se:

${\displaystyle \forall A\,\exists P\,\forall B\,[B\in P\iff \forall C\,(C\in B\Rightarrow C\in A)]}$

onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$. Em português, ele diz:

Para todo conjunto A, existe um conjunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.)

Pelo axioma da extensão este conjunto é único. Nós chamamos o conjunto ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ de conjunto das partes e A. portanto, a essência desse significado é que todo conjunto possui um conjunto das partes.

O Axioma da Potência aparece na maioria das axiomatizações da teoria dos conjuntos. Ele é geralmente considerado não controverso, porém a Teoria Construtivista dos Conjuntos prefere uma versão mais fraca, para evitar preocupações com predicabilidade.

Consequências

O Axioma da Potência permite uma definição simples de Produto Cartesiano de dois conjuntos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

Perceba que:

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

e portanto, o produto cartesiano é um conjunto, já que

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Pode-se definir o produto cartesiano de qualquer coleção finita de conjuntos recursivamente:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

Note que a existência do produto cartesiano pode ser provada sem o uso do Axioma da Potência, como no caso da Teoria dos Conjuntos Kripke-Platek.

Referencias

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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