Variância

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória ou processo estocástico é uma medida da sua dispersão estatística, indicando "o quão longe" em geral os seus valores se encontram do valor esperado.^[1][2][3][4]

A variância de uma variável aleatória real é o seu segundo momento central e também o seu segundo cumulante (os cumulantes só diferem dos momentos centrais a partir do 4º grau, inclusive). Sendo o seu valor o quadrado do desvio padrão.

Algumas definições
Variância de uma variável aleatória é a medida de dispersão ou espalhamento em torno dos possíveis valores dessa variável aleatória (tradução livre,[1] ).

História do conceito

O termo variância foi introduzido por Ronald Fisher num ensaio de 1918 intitulado de The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance. O conceito de variância é análogo ao conceito de momento de inércia em mecânica clássica.

Definição

Se μ = E(X) é o valor esperado (média) da variável aleatória X, então a variância é:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}).}$

Isto é, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média. Em linguagem comum isto pode ser expresso como "A média do quadrado da distância de cada ponto até a média". É assim a "média do quadrado dos desvios". A variância da variável aleatória "X" é geralmente designada por ${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$, ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$, ou simplesmente ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Notar que a definição acima pode ser usada quer para variáveis aleatórias discretas, quer para contínuas.

Muitas distribuições, tais como a distribuição de Cauchy, não têm variância porque o integral relevante diverge. Em particular, se uma distribuição não tem valores esperados, ela também não tem variância.

O contrário não é verdadeiro: há distribuições para as quais existe valor esperado mas não existe variância, como, por exemplo, a distribuição t de Student com 2 graus de liberdade. Um contra-exemplo mais simples é uma distribuição discreta sobre ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\star }\,}$ em que a probabilidade de cada ponto n é proporcional a ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}\,}$. O valor esperado será calculado através de uma série convergente ${\displaystyle \Sigma {\frac {1}{n^{2}}}\,}$, e a variância através de uma série divergente ${\displaystyle \Sigma {\frac {1}{n}}\,}$.

Propriedades

Se a variância pode ser calculada (ou seja, a integral ou o somatório convergem), podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos.

A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados. A variância de um preço, medido, por exemplo, em euros por metro cúbico, será dada em euros quadrados por metro à sexta potência, uma unidade que não faz nenhum sentido prático. Este facto é inconveniente e levou muitos estatísticos a usar a raiz quadrada da variância, conhecida como o desvio padrão, como um sumário da dispersão.

Pode ser provado facilmente a partir da definição que a variância não depende do valor médio ${\displaystyle \mu }$. Isto é, se a variável é "deslocada" por uma quantidade b ao tomarmos X+b, a variância da variável aleatória resultante permanece inalterada. Por contraste, se a variável for multiplicada por um factor de escala a, a variância é então multiplicada por a². Mais formalmente, se a e b forem constantes reais e X uma variável aleatória cuja variância está definida, então:

${\displaystyle \operatorname {var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {var} (X)}$

Outra fórmula para a variância que se deduz de forma simples a partir da definição acima é:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.}$

Na prática usa-se muito frequentemente esta fórmula para calcular mais rapidamente a variância.

Uma razão para o uso da variância em preferência a outras medidas de dispersão é que a variância da soma (ou diferença) de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias. Uma condição não tão estrita, chamada de "incorrelação" (uncorrelatedness) também é suficiente. Para duas variáveis temos:

${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\operatorname {cov} (X,Y).}$

E em geral, para uma combinação linear qualquer:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$

Aqui ${\displaystyle \operatorname {cov} }$ é a covariância, a qual é zero para variáveis aleatórias não correlacionadas.

Variância da população e variância da amostra

Em estatística, o conceito de variância também pode ser usado para descrever um conjunto de observações. Quando o conjunto das observações é uma população, é chamada de variância da população. Se o conjunto das observações é (apenas) uma amostra estatística, chamamos-lhe de variância amostral (ou variância da amostra).

A variância (σ²) da população y_i onde i = 1, 2, ...., N é dada por

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(y_{i}-\mu \right)^{2},}$

onde ${\displaystyle \mu }$ é a média da população. E a variância da amostra é dada por:

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2},}$

onde ${\displaystyle {\overline {x}}}$ é a média da amostra.

Repare-se que aqui o denominador n-1 contrasta com a equação da variância da população. Uma fonte de confusão comum é que a variância da amostra, s², s²_n-1, s'², quando muito denotada por s'_n², pode referir-se, para além de variância da amostra, como estimador não enviesado/centrado para a variância da população. Concluindo, independentemente da notação, ao desvio padrão populacional está associada a letra σ e a parcela 1/n, enquanto que ao desvio padrão amostral está associada a letra s e a parcela 1/(n-1), tendo sempre em conta que o quadrado do desvio padrão corresponde à variância (σ² = variância).

É intuitivo que para amostras grandes, se possa admitir o calcular a variância pela divisão por n em vez de n-1 dando uma subestimativa da variância da população. Isto porque usamos a média da amostra ${\displaystyle {\overline {x}}}$ como uma estimativa da média da população ${\displaystyle \mu }$, o que não conhecemos. Na prática, para grandes n, esta distinção é geralmente muito pequena.

Generalizações

Se X é uma variável aleatória vectorial, com valores em Rⁿ, e considerado como um vector coluna, então a generalização natural da variância é E[(X − μ)(X − μ)^T], onde μ = E(X) e X^T é a transposta de X, e logo um vetor-linha. A variância é uma matriz quadrada não-negativa definida, referida geralmente como a matriz de covariância.

Se X é uma variável aleatória de valores complexos, então a sua variância é E[(X − μ)(X − μ)^*], onde X^* é o conjugado complexo de X. Esta variância, assim como no caso real, é uma matriz quadrada não-negativa definida, cuja diagonal são números reais não-negativos.

Distribuição da variância

Como a variância é uma função de variáveis aleatórias, a variância amostral é em si também uma variável aleatória, portanto também tem distribuição. Então, se y_i são observações independentes de uma distribuição normal, pelo teorema de Cochran a variância amostral s² tem uma distribuição qui-quadrado:

${\displaystyle (n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}.}$

Uma consequência direta deste resultado é que a esperança da variância amostral E(s²) = σ².

Se as observações y_i são independentes e identicamente distribuídas, mas não necessariamente distribuidas como uma normal, então

${\displaystyle \operatorname {E} [s^{2}]=\sigma ^{2},\quad \operatorname {Var} [s^{2}]=\sigma ^{4}\left({\frac {2}{n-1}}+{\frac {\kappa }{n}}\right),}$

onde κ é a curtose da distribuição. Se as condições da lei dos grandes números valerem, então s² é um estimador consistente de σ².

Variância assintótica

A variância assintótica é a variância limite, ou seja, aquela que a sequência, ou estimador, tem no limite.

Ver também

• Coeficiente de variação
• Valor esperado
• Desvio padrão
• Moda
• Obliquidade
• Curtose
• ANOVA

Referências

• Portal da matemática

• Portal de probabilidade e estatística