Distribuição gama

Gama
Plotagem da função densidade de probabilidade de distribuições gama
Plotagem da função de distribuição acumulada de distribuições gama
Parâmetros	${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \theta >0}$
Suporte	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k\,-\,1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}$
f.d.a.	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,\,{\frac {x}{\theta }}\right)}$
Média	${\displaystyle \mathbf {E} [X]=k\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln(\theta )}$ (veja função digama)
Moda	${\displaystyle (k-1)\theta }$ para ${\displaystyle k\geq 1}$
Variância	${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=k\theta ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [\ln X]=\psi _{1}(k)}$ (veja função trigama)
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle {\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln[\Gamma (k)]\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k}}$ para ${\displaystyle t<{\frac {1}{\theta }}}$
Função Característica	${\displaystyle (1-\theta it)^{-k}}$

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. Diversos tipos de distribuições são dependentes, ou são casos específicos da distribuição gama, como a distribuição exponencial e a distribuição qui-quadrado. A distribuição gama é usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que 0. Ela é comumente usada em estudos de sobrevivência de confiabilidade. 

Existem três diferentes parametrizações no uso comum:

1. Com um parâmetro de forma ${\displaystyle k}$ e um parâmetro de escala ${\displaystyle \theta }$.
2. Com um parâmetro de forma ${\displaystyle \alpha =k}$ e um parâmetro de escala inversa ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\theta }}}$, chamado parâmetro de taxa.
3. Com um parâmetro de forma ${\displaystyle k}$ e um parâmetro média ${\displaystyle \mu ={\frac {k}{\beta }}}$.

Em cada uma dessas formas, ambos os parâmetros são números reais positivos.

ra a qual ${\displaystyle E[X]=k\theta ={\frac {\alpha }{\beta }}}$ é fixada e maior que zero, e ${\displaystyle E[ln(X)]=\psi (k)+ln(\theta )=\psi (\alpha )-ln(\beta )}$ é fixado (${\displaystyle \psi }$ é a função digama).^[1]

Dentro da distribuição gama uma importante propriedade é o fato de que à medida que ${\displaystyle \theta }$ aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância ${\displaystyle \theta }$ µ²= µ²/v

Por exemplo, a distribuição gama pode descrever o tempo de um componente elétrico de falhar. A maioria dos componentes elétricos de um determinado tipo falharão na mesma época, mas alguns vão demorar muito tempo para falhar.

Parametrização

A parametrização com ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle \theta }$ parece ser mais comum em econometria e em outros campos de aplicação, onde por exemplo, a distribuição gama é frequentemente usada para modelar tempos de espera. A parametrização com ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ é mais comum em estatística bayesiana, onde a distribuição gama é usada como uma distribuição conjugada a priori para vários tipos de parâmetros de escala inversa (também conhecido como parâmetros de taxa), assim como o ${\displaystyle \lambda }$ de uma distribuição exponencial ou uma distribuição de Poisson^[2].

Se ${\displaystyle k}$ é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang, isto é, a soma de ${\displaystyle k}$ variáveis aleatórias exponencialmente distribuídas, cada uma das quais tem média ${\displaystyle \theta }$

Caracterização usando ${\displaystyle \alpha }$ e taxa ${\displaystyle \beta }$

A distribuição gama pode ser parametrizadas em termos de um parâmetro de forma ${\displaystyle \alpha =k}$ e o parâmetro de escala inversa ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\theta }}}$, chamado parâmetro de taxa. Uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ que é distribuída sob gama com forma ${\displaystyle \alpha }$ e taxa ${\displaystyle \beta }$ é denotada

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv {\textrm {Gama}}(\alpha ,\beta )}$

A função densidade de probabilidade correspondente na parametrização forma-taxa é

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}\alpha ,\beta >0}$,

onde ${\displaystyle {\Gamma (\alpha )}}$ é uma função gama completa. Para todos os inteiros positivos ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}$

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}}}$

onde ${\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}$ é a função gama incompleta inferior.

Se ${\displaystyle \alpha }$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma Distribuição Erlang), a função de distribuição acumulada tem a seguinte expansão em séries:^[3]

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}}$

Caracterização usando a forma ${\displaystyle k}$ e escala ${\displaystyle \theta }$

Uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ que é distribuída sob gama com parâmetro de forma ${\displaystyle k}$ e escala ${\displaystyle \theta }$ é denotada por

${\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\equiv {\textrm {Gama}}(k,\theta )}$

A função densidade de probabilidade usando a parametrização forma-escala é

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}k,\theta >0.}$

Aqui ${\displaystyle \Gamma (k)}$ é a função gama avaliada em ${\displaystyle k}$.

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

${\displaystyle F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}{\Gamma (k)}}}$

onde ${\displaystyle \gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}$ é a função gama incompleta inferior.

Também pode ser expressa como segue, se ${\displaystyle k}$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma distribuição Erlang):^[3]

${\displaystyle F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}}$

Aplicações

Este tipo de distribuição geralmente é aplicada quando se quer fazer algum tipo de analise ligada ao tempo de vida de algum tipo de produto. Por exemplo em um painel elétrico, os mesmo componentes elétricos tem a sua duração (vida útil) aproximadamente igual, ou seja vão durar o mesmo período de tempo, porem alguns podem durar muito mais.

Referências

• Portal de probabilidade e estatística
• Portal da matemática