Distribuição beta

Distribuição Beta
Função densidade de probabilidade para a distribuição Beta
Função de densidade acumulada para a distribuição Beta
Parâmetros	${\displaystyle \alpha >0\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \beta >0\in \mathbb {R} }$
Suporte	${\displaystyle x\in [0,1]}$ ou ${\displaystyle x\in (0,1)}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$ onde ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$
f.d.a.	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ (função Beta incompleta)
Média	${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}$
Mediana	${\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}}$ para ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$
Moda	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ para ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$
Variância	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
Entropia	${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$

Em teoria da probabilidade e estatística, a distribuição beta é uma família de distribuições de probabilidade contínuas definidas no intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ parametrizado por dois parâmetros positivos, denotados por ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$, que aparecem como expoentes da variável aleatória e controlam o formato da distribuição.

A distribuição beta tem sido aplicada para modelar o comportamento de variáveis aleatórias limitadas a intervalos de tamanho finito em uma grande quantidade de disciplinas.

Em Inferência bayesiana, a distribuição beta é a distribuição conjugada a priori da distribuição de Bernoulli, distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica. Por exemplo, a distribuição beta pode ser usada na análise bayesiana para descrever conhecimentos iniciais sobre a probabilidade de sucesso assim como a probabilidade de que um veículo espacial vai completar uma missão especificada. A distribuição beta é um modelo conveniente para comportamento aleatório de porcentagens e proporções.

Caracterização

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) da distribuição beta, para ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ e parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle >0}$ é uma função exponencial da variável ${\displaystyle x}$ e de sua reflexão ${\displaystyle (1-x)}$ como segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constante} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\\\&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\\\&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle \Gamma (z)}$ é a função gama. A função beta, ${\displaystyle \mathrm {B} }$, é uma constante de normalização para assegurar que a probabilidade total integre a 1. Nas equações acima ${\displaystyle x}$ é uma realização - um valor observado que de fato ocorreu - de um processo aleatório ${\displaystyle X}$.

Esta definição inclui os dois extremos ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=1}$, que é consistente com as definições para outras distribuições contínuas suportadas em um intervalo limitado que são casos especiais da distribuição beta, por exemplo a distribuição arcoseno, e consistente com diversos autores, como N. L. Johnson e S. Kotz.^[1][2][3][4] Entretanto, a inclusão de ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=1}$ não funciona para ${\displaystyle \alpha ,\beta <1}$; diversos autores, incluindo W. Feller,^[5][6][7] escolheram excluir os extremos ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=1}$ (portanto, os dois extremos não são realmente parte do domínio da função de densidade) e considerar ao invés ${\displaystyle 0<x<1}$.

Diversos autores, incluindo N. L. Johnson e S. Kotz,^[1] usam os símbolos ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ (ao invés de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$) para os parâmetros da distribuição de beta, reminiscente dos símbolos tradicionalmente usados dos parâmetros da distribuição de Bernoulli, porque a distribuição beta se aproxima da distribuição de Bernoulli no limite quando os dois parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ aproxima o valor de zero.

No seguinte, a variável aleatória ${\displaystyle X}$ distribuída sob a distribuição beta com parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ irá ser denotada por :^[8][9]

${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$

Outras notações são ${\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )}$^[10] e ${\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}$.^[5]

Equação diferencial

A função densidade de probabilidade satisfaz a equação diferencial

${\displaystyle f'(x)=f(x)\,{\frac {(\alpha +\beta -2)x-(\alpha -1)}{(x-1)x}}.}$

Função distribuição acumulada

A função distribuição acumulada é

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}\\\\&={\frac {\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt}{B(\alpha ,\beta )}}\\\\&=I_{x}(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$ é a função beta incompleta e ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ é a função beta incompleta regularizada.

Propriedades

Medidas de tendência central

Moda

A moda da variável aleatória ${\displaystyle X}$ de distribuição beta com ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle >1}$ é o valor mais provável da distribuição (correspondendo ao pico na f.d.p.), e é dado pela seguinte expressão:^[1]

${\displaystyle Mo(X)={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$

Quando os dois parâmetros são menores que 1 (${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle <1}$), isto é a anti-moda: o menor ponto da curva densidade de probabilidade.^[3]

Quando ${\displaystyle \alpha =\beta }$, a expressão para a moda é simplificada para ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, mostrando que para ${\displaystyle \alpha =\beta >1}$ a moda está no centro da distribuição: que é simétrica nesse caso. Veja a seção "Formas" nesse artigo para uma lista completa de casos de moda, para valores arbitrários de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. Para vários desses casos, o valor máximo da função densidade ocorre em um dos dois extremos. Em alguns casos, o valor máximo da função densidade ocorrendo num extremo é finito. Por exemplo, no caso de ${\displaystyle \alpha =2}$, ${\displaystyle \beta =1}$ (ou ${\displaystyle \alpha =1}$, ${\displaystyle \beta =2}$), a função densidade se torna uma distribuição triangular que é finita nos dois extremos. Em diversos outros casos existe uma singularidade em um dos extremos, onde o valor da função densidade se aproxima do infinito. Por exemplo, no caso ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$, a distribuição beta simplifica-se para se tornar a distribuição arcoseno. Existe um debate entre matemáticos sobre alguns desses casos e se os extremos (${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=1}$) pode ser chamados de modas ou não.^[6][8]

• Se os extremos são parte do domínio da função densidade
• Se uma singularidade pode alguma vez ser chamada de moda
• Se os casos com dois máximos deveriam ser chamados de bimodais

Mediana

A mediana da distribuição beta é o único número real ${\displaystyle x=I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$ para o qual a função beta incompleta regularizada ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}}$. Não existe uma forma fechada para a mediana da distribuição beta para valores arbitrários de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. Algumas formas fechadas para valores particulares dos parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ seguem:

• Para casos simétricos, onde ${\displaystyle \alpha =\beta }$, a mediana é igual a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
• Para ${\displaystyle \alpha =1}$ e ${\displaystyle \beta >0}$, a mediana é igual a ${\displaystyle 1-2^{-{\frac {1}{\beta }}}}$
• Para ${\displaystyle \alpha >0}$ e ${\displaystyle \beta =1}$, a mediana é igual a ${\displaystyle 2^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
• Para ${\displaystyle \alpha =3}$ e ${\displaystyle \beta =2}$, a mediana é igual a solução real da função de quarto grau ${\displaystyle 1-8x^{3}+6x^{4}=0}$, que se encontra no intervalo ${\displaystyle [0,1]}$.

Os seguintes são os limites para a mediana da variável aleatória ${\displaystyle X}$ tem um parâmetro finito (não nulo) e o outro se aproximando desses limites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{Md(X)}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{Md(X)}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{Md(X)}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{Md(X)}}=0.\end{aligned}}}$

Uma aproximação razoável do valor da mediana da distribuição beta, para ambos ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ maiores ou iguais a 1, é dado pela fórmula:^[11]

${\displaystyle {\text{Md(X)}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.}$

Quando ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta \leq 1}$, o erro relativo (o erro absoluto dividido pela mediana) nessa aproximação é menor que 4% e para ambos ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta \geq 2}$ é menor que 1%. O erro absoluto dividido pela diferença entre a média e a moda é similarmente pequeno:

Média

O valor esperado (média) ${\displaystyle \mu }$ da variável aleatória ${\displaystyle X}$ sob a distribuição beta com parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ é uma função apenas da razão ${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}}$ desses parâmetros:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}}$

Fazendo ${\displaystyle \alpha =\beta }$ na expressão acima, obtém-se ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}}$, mostrando que para ${\displaystyle \alpha =\beta }$, a média está no centro da distribuição, que é simétrica. Além dissoos seguintes limites podem ser obtidos da expressão acima:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$

Portanto, para ${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}\rightarrow 0}$ ou para ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\rightarrow \infty }$, a média está localizada no extremo direito, ${\displaystyle x=1}$. Para esses limites, a distribuição beta se torna uma distribuição degenerada de um ponto com um pico de função delta de Dirac no extremo direito ${\displaystyle x=1}$, com probabilidade 1; e probabilidade 0 em todo o resto do intervalo.

Analogamente, para ${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}\rightarrow \infty }$, ou para ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\rightarrow 0}$, a média é localizada no extremo esquerdo, ${\displaystyle x=0}$. A distribuição beta se torna uma distribuição degenerada de um ponto com um pico de função delta de Dirac no extremo esquerdo ${\displaystyle x=0}$ com probabilidade 1, e 0 em todo o resto do intervalo.

Enquanto para distribuições unimodais típicas (com modas centradas, pontos de inflexão nos dois lados da moda e caudas longas) é conhecido que a média amostral (como uma estimativa de local) não é tão robusta como a mediana amostral, o oposto é o caso para distribuições bimodais uniformes ou "em forma de U" com ${\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$ tal que ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta \leq 1}$, isto é, com as modas localizadas nos extremos da distribuição. Como Mosteller e Tukey frizam^[12] "a média das duas observações extremas usa toda a informação amostral. Isto ilustra como, para distribuições de cauda curta, as observações extremas devem receber maior peso". Por contraste, segue que a mediana de uma distribuição bimodal em forma de U com modas nas fronteiras da distribuição (com ${\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$ tal que ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta \leq 1}$ não é robusta, conforme a mediana amostral desconsidera as observações amostrais extremas. Uma aplicação prática disso ocorre por exemplo para passeios aleatórios, uma vez que a probabilidade para o tempo da última visita a origem em um passeio aleatório é distribuído como uma distribuição arco seno ${\displaystyle {\text{Beta}}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$:^[5][13] a média de um número de realizações de um passeio aleatório é um estimador muito mais robusto que a mediana (que é uma medida estimativa amostral inapropriada neste caso).

Média geométrica

O logaritmo da média geométrica ${\displaystyle G_{X}}$ de uma distribuição da variável aleatória ${\displaystyle X}$ é a média aritmética de ${\displaystyle ln(X)}$ ou, equivalentemente, seu valor esperado:

${\displaystyle \ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]}$

Para a distribuição beta, o valor esperado da integral é:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle \psi }$ é a função digama.

Assim sendo, a média geométrica de uma distribuição beta com parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ é a exponencial da função digama de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ como segue:

${\displaystyle G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}}$

Enquanto para a distribuição beta com parâmetros ${\displaystyle \alpha =\beta }$, segue que a curtose = 0 e a moda = média = mediana = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, a média geométrica é menor que ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ (isto é: ${\displaystyle G_{X}<{\frac {1}{2}}}$). A razão para isso é que a transformação logarítmica faz os valores de ${\displaystyle |}$ próximos de zero pesarem muito, enquanto ${\displaystyle ln(X)}$ tende rapidamente para menos infinito conforme X se aproxima de zero, enquanto ${\displaystyle ln(X)}$ aplaina perto de zero quando ${\displaystyle X\rightarrow 1}$.

Ao longo de uma linha ${\displaystyle \alpha =\beta }$, os seguintes limites se aplicam:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$

Seguindo há os limites com um parâmetro finito (não-nulo) e o outro se aproximando desses limites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}}$

O gráfico que acompanha mostra a diferença entre a média aritmética e a média geométrica para os parâmetros de forma ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ de 0 a 2. Apesar do fato de que a diferença entre elas aproxima-se de zero conforme ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ aproximam-se do infinito e que a diferença se torna larga para valores de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ aproximando-se de zero, pode-se observar uma assimetria evidente da média geométrica com respeito aos parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. A diferença entre a média geométrica e a média aritmética é maior para valores pequenos de ${\displaystyle \alpha }$ em relação a ${\displaystyle \beta }$ do que quando trocando as magnitudes de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$.

Medidas de dispersão estatísticas

Variança^[14]

A variança é o valor de uma distribuição beta com uma distribuição aleatória de variável X com os parâmetros α e β é

${\displaystyle var(X)=E[x-\mu ^{2}]={\alpha \beta \over (\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$

Tendo que α=β e através da expressão anterior tem-se que:

${\displaystyle var(X)={1 \over 4(2\beta +1)}}$

Quanto mais próximo de zero for α = β a variança tende a diminuir. Quando α = β = 0 tem se que o ponto máximo da variança, var(x)=1/4. A distribuição beta é parametrizada através de sua média μ (0 <μ <1) e tamanho de amostra: ν = α + β (ν> 0), usando estás variáveis tem-se que a variança é dada por:

${\displaystyle var(X)={\mu (1-\mu ) \over 1+\nu }}$

Como ν = (α + β) > 0 e var(X) < μ(1 − μ). Então uma distribuição simétrica (média) é quando μ=1/2, tendo então:

${\displaystyle var(X)={1 \over 4(1+\nu )}if\mu ={1 \over 2}}$

Referências

• Portal de probabilidade e estatística
• Portal da matemática