Funkcje hiperboliczne odwrotne

Funkcje hiperboliczne odwrotne, funkcje polowe, funkcje area^[1], areafunkcje^[2][3] – funkcje odwrotne do hiperbolicznych^[2], definiowane też poniższymi wzorami:

nazwa	symbole[a]	wzory	funkcja odwrotna i przypis
area sinus hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {arsinh} \ x}$	${\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$	sinus hiperboliczny[4][5]
area cosinus hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {arcosh} \ x}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})=\\&\ln(x+{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}})\end{aligned}}}$	cosinus hiperboliczny[6][5]
area tangens hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {artgh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$	tangens hiperboliczny[7][5]
area cotangens hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {arctgh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}$	cotangens hiperboliczny[8][5]
area secans hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {arsech} \ x}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}+{\frac {1}{x}}\right)=\\&\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x}}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{x}}+1}}+{\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$	secans hiperboliczny[5]
area cosecans hiperboliczny	${\displaystyle \operatorname {arcsch} \ x}$	${\displaystyle \ln \left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)}$	cosecans hiperboliczny[5]

Funkcje polowe czerpią nazwę stąd, że można nimi obliczać pola odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$^[9]. Analogicznie funkcje kołowe (cyklometryczne, odwrotne do trygonometrycznych) są równe polom wycinków koła jednostkowego ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$ Funkcje polowe znajdują też zastosowanie poza geometrią i matematyką czystą, np. w fizyce i elektrotechnice; przykładowo cosinus polowy pojawia się w jednym ze wzorów na pojemność elektryczną^[9].

Opis poszczególnych funkcji polowych

Area sinus

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• w punkcie ${\displaystyle x=0}$ ma punkt przegięcia;
• jest rosnąca na całej dziedzinie;
• nie ma asymptot.

Area cosinus

Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia. Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa^[6]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \ x&=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{1}\ x&=\ \ \ \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{2}\ x&=-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}).\end{aligned}}}$

Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste, to ich dziedziną jest przedział ${\displaystyle [1,\infty ).}$ Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.

Area tangens

Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty ${\displaystyle (-1,1).}$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• jest rosnąca;
• ma dwie asymptoty i obie są pionowe: ${\displaystyle x=-1,\;x=1.}$

Area cotangens

Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych: ${\displaystyle (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).}$ Funkcja ta:

• nie ma ekstremów;
• nie ma przegięć;
• ma 3 asymptoty: ${\displaystyle y=0,\;x=-1,\;x=1.}$

Area secans

Dziedziną tej funkcji jest przedział ${\displaystyle (0,1].}$ Funkcja ma asymptotę o równaniu ${\displaystyle x=0.}$

Area cosecans

Dziedziną tej funkcji jest ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$ Funkcja ma dwie asymptoty: ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0.}$

Pochodne

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji area

funkcja polowa ${\displaystyle f(x)}$	funkcja pochodna ${\displaystyle f'(x)}$	przypisy
${\displaystyle \operatorname {arsinh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}=(1+x^{2})^{-1/2}}$	[10][11]
${\displaystyle \operatorname {arcosh} _{1}\ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=(x^{2}-1)^{-1/2}}$	[10][11]
${\displaystyle \operatorname {arcosh} _{2}\ x}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-(x^{2}-1)^{-1/2}}$	[10]
${\displaystyle \operatorname {artgh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1}}$	[10][11]
${\displaystyle \operatorname {arctgh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {-1}{1-x^{2}}}=-(1-x^{2})^{-1}}$	[11]
${\displaystyle \operatorname {arsech} \ x}$	${\displaystyle {\frac {-1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}$	[12]
${\displaystyle \operatorname {arcsch} \ x}$	${\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}$	[13]

Związki z innymi funkcjami

Całki funkcji algebraicznych

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C\\\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+C\\\int {\sqrt {x^{2}+1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {arsinh} \ x+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\\\int {\sqrt {x^{2}-1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(-\operatorname {arcosh} \ x+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|+C=\\&={\begin{cases}\operatorname {artgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|<1\\\operatorname {arctgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|>1\end{cases}}\end{aligned}}}$

Funkcje kołowe

Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej ${\displaystyle i}$^[10][14]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ar\ sinh} x&=-i\operatorname {arc\ sin} (ix)\\\operatorname {ar\ cosh} x&=\ \ \ i\operatorname {arc\ cos} x\\\operatorname {ar\ tgh} x&=-i\operatorname {arc\ tg} (ix)\end{aligned}}}$

Uwagi

Przypisy

Zobacz multimedia związane z tematem: Funkcje hiperboliczne odwrotne

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.
• I.M. Ryżyk, I.S. Gradsztejn: Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.
• Wojciech Żakowski: funkcje odwrotne do hiperbolicznych [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.