Pierwiastkowanie

Ten artykuł dotyczy odwrócenia potęgowania. Zobacz też: inne znaczenia słowa „pierwiastek”.

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ może istnieć wiele liczb, które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę (są to tzw. pierwiastki algebraiczne), to pierwiastkowanie nie może być w ogólności traktowane jako działanie. Jeśli jednak odpowiednio ograniczyć dziedzinę działania potęgowania, to potęgowanie staje się funkcją odwracalną (i ta funkcja odwrotna wyznacza tzw. „pierwiastki arytmetyczne”).

Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Pierwiastki pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego albo w definicji odległości Minkowskiego.

Definicja

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita ${\displaystyle n}$ nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby ${\displaystyle x}$ stopnia ${\displaystyle n}$ nazywa się taką liczbę ${\displaystyle r,}$ która podniesiona do n-tej potęgi jest równa ${\displaystyle x;}$ innymi słowy jest to dowolna liczba ${\displaystyle r}$ spełniająca równość^[1]:

${\displaystyle r^{n}=x.}$

Innymi słowy, pierwiastek stopnia ${\displaystyle n}$ z liczby ${\displaystyle x}$ jest pierwiastkiem wielomianu ${\displaystyle r^{n}-x}$ zmiennej ${\displaystyle r.}$

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest ${\displaystyle 0.}$ W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych ${\displaystyle n}$ każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych ${\displaystyle n.}$

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu ${\displaystyle {\sqrt {^{^{\;}}}}}$ (zob. niżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby ${\displaystyle x}$ odpowiadają kolejno symbole ${\displaystyle {\sqrt {x}},{\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{4}]{x}}}$ itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$

Przykłady i własności

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż ${\displaystyle 2^{4}=16.}$ Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest -2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby^[a], które wraz z 2 oraz -2 są pierwiastkami algebraicznymi 4. stopnia z 16.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1{,}148698354\dots ,}$ lecz nie istnieje żaden rzeczywisty pierwiastek szóstego stopnia z jakiejkolwiek liczby ujemnej.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną^[b]; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}414213562\dots }$

Pierwiastek wyższego stopnia z liczby większej niż 1 jest zawsze liczby mniejszą od pierwiastka kwadratowego np.

${\displaystyle {\sqrt[{38}]{2}}=2^{1/38}=1{,}018408093\dots }$

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

Jeżeli ${\displaystyle x,y}$ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś ${\displaystyle n,m}$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{xy}}={\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}},}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x/y}}={\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}\quad {}}$ dla ${\displaystyle y\neq 0,}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m},}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}.}$

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

${\displaystyle {\sqrt[{t}]{1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(1-kt)}{n!t^{n}}}x^{n},}$

o ile ${\displaystyle |x|<1.}$ Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

Pierwiastek zespolony

 Zobacz też: pierwiastek z jedynki i wzór de Moivre’a.

Dla dodatniej liczby całkowitej ${\displaystyle n}$ pierwiastkiem stopnia ${\displaystyle n}$ z liczby zespolonej ${\displaystyle x}$ nazywa się dowolną liczbę ${\displaystyle r}$ spełniającą równość

${\displaystyle r^{n}=x.}$

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) ${\displaystyle x}$ ma ${\displaystyle n}$ różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej

${\displaystyle z=|z|\left(\cos \psi +i\sin \psi \right)}$

można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre’a:

${\displaystyle z_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos {\tfrac {\psi +2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {\psi +2k\pi }{n}}\right),}$

dla ${\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n-1}$ (symbol ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\;}}}$ oznacza tu pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby ${\displaystyle z=-4}$ jest ${\displaystyle |z|=4,}$ a ponadto ${\displaystyle \operatorname {Arg} \;z=\pi ,}$ a więc w postaci biegunowej ma ona postać ${\displaystyle z=4(\cos \pi +i\sin \pi ).}$

Pierwiastkami drugiego stopnia z ${\displaystyle z}$ są:

${\displaystyle z_{0}=2\left(\cos {\tfrac {\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\pi }{2}}\right)=2i,}$

${\displaystyle z_{1}=2\left(\cos {\tfrac {-\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {-\pi }{2}}\right)=-2i.}$

Historia

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła^{[potrzebny przypis]} podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421–1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa جذر (dżazr) oznaczającego „korzeń”. Wielu, w tym Leonhard Euler^[2] sądziło, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix (również oznaczającego „korzeń”), które oznacza to samo działanie matematyczne.

Nieużywany w języku polskim termin surd, traktowany niekiedy jako nazwa symbolu √^[3], pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych^[4].

Symbolu √ użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa. Vinculum wprowadził Kartezjusz w Geometrii (1637) do zaznaczania, jakie wyrażenie algebraiczne podlega pierwiastkowaniu^[3].

Stosowana przez Kartezjusza notacja dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa nie przyjęła się (np. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ Kartezjusz zapisywał jako ${\displaystyle {\sqrt {C.x}}}$^[c])^[3]. Współczesną notację stopnia pierwiastka zaproponował Albert Girard w pracy z 1629 roku; utrwaliła się ona w pierwszej połowie XVIII w.^[5]

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej^[6].

Znak	Nazwa polska[d]	Nazwa unikodowa	Unikod	Encja HTML			URL
				dec	hex	name
√	pierwiastek kwadratowy	SQUARE ROOT	U+221A	√	√	√	%E2%88%9A
∛	pierwiastek sześcienny	CUBE ROOT	U+221B	∛	∛	–	%E2%88%9B
∜	pierwiastek czwartego stopnia	FOURTH ROOT	U+221C	∜	∜	–	%E2%88%9C
‾	kreska wiążąca górna	OVERLINE	U+203E	‾	‾	‾	%E2%80%BE
‾	kreska wiążąca górna dostawna	COMBINING OVERLINE	U+0305	̅	̅	–	%00%CC%85

W LaTeX-u:

• pierwiastek ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ zapisywany jest jako \sqrt x;
• pierwiastek ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{x}}}$ zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

Zobacz hasło pierwiastkowanie w Wikisłowniku

• algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia
• Pomoc Wikipedii: Pierwiastki we wzorach matematycznych

Uwagi

Przypisy