Indice di correlazione di Pearson

In statistica, l'indice di correlazione di Pearson (anche detto coefficiente di correlazione lineare^[1], coefficiente di correlazione di Pearson o coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson) tra due variabili statistiche è un indice che esprime un'eventuale relazione di linearità tra esse.^[1]

Secondo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ha un valore compreso tra ${\displaystyle +1}$ e ${\displaystyle -1,}$ dove ${\displaystyle +1}$ corrisponde alla perfetta correlazione lineare positiva, ${\displaystyle 0}$ corrisponde a un'assenza di correlazione lineare e ${\displaystyle -1}$ corrisponde alla perfetta correlazione lineare negativa. Fu sviluppato da Karl Pearson da un'idea introdotta da Francis Galton nel 1880; la formula matematica fu derivata e pubblicata da Auguste Bravais nel 1844.^[2][3][4] La denominazione del coefficiente è anche un esempio della legge di Stigler.

Definizione

Date due variabili statistiche ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, l'indice di correlazione di Pearson è definito come la loro covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili:

${\displaystyle \rho _{XY}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}.}$

dove ${\displaystyle \sigma _{XY}}$ è la covarianza tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle \sigma _{X},\sigma _{Y}}$ sono le due deviazioni standard.

Il coefficiente assume sempre valori compresi tra ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 1:}$^[5]

${\displaystyle -1\leq \rho _{XY}\leq 1.}$

Correlazione e indipendenza

Nella pratica si distinguono vari "tipi" di correlazione.

• Se ${\displaystyle \rho _{XY}>0}$, le variabili ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
• se ${\displaystyle \rho _{XY}=0}$, le variabili ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ si dicono incorrelate;
• se ${\displaystyle \rho _{XY}<0}$, le variabili ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Inoltre per la correlazione diretta (e analogamente per quella inversa) si distingue:

• se ${\displaystyle 0<\left|\rho _{XY}\right|<0,3}$ si ha correlazione debole;
• se ${\displaystyle 0,3<\left|\rho _{XY}\right|<0,7}$ si ha correlazione moderata;
• se ${\displaystyle \left|\rho _{XY}\right|>0,7}$ si ha correlazione forte.

Se le due variabili sono indipendenti allora l'indice di correlazione vale 0. Non vale la conclusione opposta: in altri termini, l'incorrelazione è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. Per esempio data la distribuzione

abbiamo che ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ non sono indipendenti in quanto legate dalla relazione ${\displaystyle Y=X^{2}}$, ma ${\displaystyle \rho _{XY}=0}$.

L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.

L'indice di correlazione vale ${\displaystyle +1}$ in presenza di correlazione lineare positiva perfetta (cioè ${\displaystyle Y=a+bX}$, con ${\displaystyle b>0}$), mentre vale ${\displaystyle -1}$ in presenza di correlazione lineare negativa perfetta (cioè ${\displaystyle Y=a+bX}$, con ${\displaystyle b<0}$).

Valori prossimi a ${\displaystyle +1}$ (o ${\displaystyle -1}$) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. Per esempio, la seguente relazione quadratica: ${\displaystyle Y=X^{2}}$

produce un coefficiente ${\displaystyle \rho _{XY}=0,9844}$.

Generalizzazione a più di due variabili

Gli indici di correlazione di ${\displaystyle n}$ variabili possono essere presentati in una matrice di correlazione, che è una matrice quadrata di dimensione ${\displaystyle n\times n}$ avente sia sulle righe che sulle colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è simmetrica, cioè ${\displaystyle (\rho _{ji}=\rho _{ij})}$, e i coefficienti sulla diagonale valgono ${\displaystyle 1,}$ in quanto

${\displaystyle \rho _{ii}={\frac {\sigma _{ii}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

Proprietà matematiche

Un valore dell'indice di correlazione uguale a ${\displaystyle +1}$ o ${\displaystyle -1}$ corrisponde a punti che si trovano esattamente su una linea retta. Il coefficiente di correlazione di Pearson è simmetrico: ${\displaystyle \rho _{XY}=\rho _{YX}.}$

Una proprietà matematica caratteristica del coefficiente di correlazione di Pearson è che non varia rispetto ai cambiamenti singoli della posizione e della scala delle due variabili. Cioè, possiamo trasformare ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle a+bX}$ e trasformare ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle c+dY,}$ dove ${\displaystyle a,b,c}$ e ${\displaystyle d}$ sono costanti reali con ${\displaystyle b,d>0,}$ senza modificare il coefficiente di correlazione.

Esempio in R

Utilizzando il linguaggio di programmazione R si vuole calcolare l'indice di correlazione di Pearson tra la variabile Fertility rate, total (births per woman) e la variabile GDP per capita (current US$) nel 2020 , fornite dalla Banca Mondiale qui : https://databank.worldbank.org/reports.aspx?source=world-development-indicators . Per fare questo si utilizza la funzione cor nel seguente modo :

library(dplyr)

World_Bank_Data <- read.csv("World_Bank_Data.csv")

df1 <- World_Bank_Data %>%
  filter(Series.Name=="Fertility rate, total (births per woman)") %>%
  select(Country.Name,X2020..YR2020.)

colnames(df1)[2] <- "Numero di figli per donna"

df2 <- World_Bank_Data %>%
  filter(Series.Name=="GDP per capita (current US$)"   ) %>%
  select(Country.Name,X2020..YR2020.)

colnames(df2)[2] <- "Pil procapite"

df1 <- merge(df1,df2 , by="Country.Name")

df1$`Numero di figli per donna` <- as.numeric(df1$`Numero di figli per donna`)
df1$`Pil procapite` <- as.numeric(df1$`Pil procapite`)

df1 <- df1[-which(is.na(df1$`Pil procapite`)),]
df1 <- df1[-which(is.na(df1$`Numero di figli per donna`)),]

cor(df1$`Numero di figli per donna`,df1$`Pil procapite`,)

-0.4601806

Note

Bibliografia

• Sheldon M. Ross, Introduzione alla statistica, 2ª ed., Maggioli Editore, 2014, ISBN 8891602671.

Voci correlate

• Coefficiente di correlazione per ranghi di Spearman
• Coefficiente di correlazione per ranghi di Kendall
• Regressione lineare
• Correlazione (statistica)
• Karl Pearson
• Francis Galton, il primo a introdurre la lettera r (come abbreviazione di "regressione") anche se utilizzava un coefficiente diverso, in quanto normava usando lo scarto interquartile.

Collegamenti esterni

• (EN) Ken Stewart, Pearson’s correlation coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Indice di correlazione di Pearson, su MathWorld, Wolfram Research.

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