Varianza

In statistica e in teoria della probabilità la varianza di una variabile statistica o di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ è una funzione, indicata con ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ o con ${\displaystyle \mathrm {Var} (X)}$ (o semplicemente con ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ se la variabile è sottintesa), che fornisce una misura della variabilità dei valori assunti dalla variabile stessa; nello specifico, la misura di quanto essi si discostino quadraticamente rispettivamente dalla media aritmetica o dal valore atteso ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$.

Il termine di "varianza" venne introdotto nel 1918 da Ronald Fisher e sostituì nel tempo la denominazione di "deviazione standard quadratica" utilizzata da Karl Pearson.

Probabilità

Definizione

La varianza della variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ è definita come il valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata ${\displaystyle X-\mathbb {E} [X]}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}{\Big ]}.}$

Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dalla disuguaglianza di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:

${\displaystyle P{\Big (}{\big |}X-\mathbb {E} [X]{\big |}\geqslant \lambda \sigma _{X}{\Big )}\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2}}},}$

dove ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}}$

Proprietà

Segno della varianza

La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore ${\displaystyle x_{0}}$, cioè se ${\displaystyle P(X=x_{0})=1}$.

Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremi della distribuzione

Dato un insieme di ${\displaystyle n}$ unità statistiche, dove ${\displaystyle \mathrm {min} }$ e ${\displaystyle \mathrm {max} }$ sono i valori minimo e massimo tra le unità, il massimo valore che può assumere la varianza è uguale a

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }^{2}={\frac {(\mathrm {max} -\mathrm {min} )^{2}}{4}}.}$

Se dalle osservazioni si conosce soltanto la media ${\displaystyle \mu }$, il valore è uguale a

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }^{2}=\mu ^{2}(n-1).}$

Espressione della varianza come differenza tra il momento di ordine 2 e il quadrato del valore atteso

Una formula alternativa per la varianza è

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\ }$

Questa formula è più pratica per calcolare la varianza.

Invarianza per traslazione

La varianza è invariante per traslazione, che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento:

${\displaystyle \sigma _{aX+b}^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}\ }$

Varianza della somma di due variabili indipendenti

La varianza della somma di due variabili indipendenti o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze

${\displaystyle \sigma _{X+Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}.}$

Varianza della differenza di due variabili indipendenti

Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze

${\displaystyle \sigma _{X-Y}^{2}=\sigma _{X+(-Y)}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{-Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}.}$

Varianza della somma di due variabili non indipendenti

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro covarianza,

${\displaystyle \sigma _{X+Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X,Y},}$

dove

${\displaystyle \sigma _{X,Y}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}$

Varianza della media aritmetica di variabili indipendenti

In particolare, la media aritmetica ${\displaystyle \textstyle {\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}}$ di ${\displaystyle n}$ variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima distribuzione, ha varianza aritmetica

${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sigma _{X_{1}+\ldots +X_{n}}^{2}={\frac {1}{n}}\sigma _{X_{1}}^{2}.}$

Variabili aleatorie discrete e continue

La varianza di una variabile aleatoria discreta ${\displaystyle X}$ a valori in un insieme ${\displaystyle A}$ si calcola attraverso la sua funzione di probabilità:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{x\in A}xP(X=x)}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{x\in A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}P(X=x).}$

La varianza di una variabile aleatoria continua ${\displaystyle X}$ a valori in un insieme ${\displaystyle A}$ si calcola attraverso la sua densità di probabilità:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{A}xf(x)dx}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\int _{A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx.}$

Esempio

Una variabile aleatoria di Bernoulli ${\displaystyle X}$, cioè che ha probabilità ${\displaystyle p}$ di fornire "1" e probabilità ${\displaystyle q=1-p}$ di fornire "0", ha valore atteso

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1)=p,}$

e la sua varianza può essere calcolata come

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [(X-p)^{2}]=p^{2}P(X=0)+q^{2}P(X=1)=pq(p+q)=pq,}$

oppure come

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=P(X=1)-p^{2}=p(1-p)=pq.}$

Statistica

In statistica la varianza è un indice di variabilità. Data una distribuzione di un carattere quantitativo ${\displaystyle X}$ su una popolazione di ${\displaystyle n}$ elementi, la varianza è la media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-\mu _{X})^{2}}{n}},}$

dove ${\displaystyle \textstyle \mu _{X}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}}$ è la media aritmetica di ${\displaystyle X}$.

Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze di un carattere, è possibile calcolare più facilmente la varianza attraverso la seguente formula:

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{K}(x_{j}-\mu _{X})^{2}n_{j}}$

dove ${\displaystyle K}$rappresenta il numero di modalità in cui si presenta il carattere x, mentre ${\displaystyle x_{j}}$ e ${\displaystyle n_{j}}$ sono rispettivamente la j-esima modalità di x e la relativa frequenza assoluta.

A partire dalla precedente formula, ricordando che ${\displaystyle n_{j}/n=f_{j}}$, si ricava anche:

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{j=1}^{K}(x_{j}-\mu _{X})^{2}f_{j}}$

dove ${\displaystyle f_{j}}$ è la frequenza relativa della j-esima modalità.

Esiste, infine, una formula semplificata per il calcolo della varianza:

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-\mu _{X}^{2}}$

Le formule corrispondenti alla precedente che fanno uso della frequenza assoluta e di quella relativa sono:

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{K}x_{j}^{2}n_{j}-\mu _{X}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{j=1}^{K}x_{j}^{2}f_{j}-\mu _{X}^{2}}$

Un difetto della varianza è quello di non avere la stessa unità di misura dei valori analizzati (se, per esempio, questi sono in cm, la varianza sarà in cm²), perciò in statistica viene molto spesso utilizzata anche la radice quadrata della varianza, vale a dire lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo) ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}}$. Con riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Stimatori

In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}\quad }$ e ${\displaystyle \quad S_{n-1}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}},}$

dove ${\displaystyle \textstyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$ è la media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria, mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta a causa della sua proprietà di correttezza. Infatti lo stimatore ${\displaystyle S_{n-1}^{2}}$ è privo di distorsione, cioè il suo valore atteso è proprio la varianza:

${\displaystyle \mathbb {E} [S_{n-1}^{2}]=\sigma ^{2}(X)}$.

Al contrario, lo stimatore ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ ha un valore atteso diverso dalla varianza, ${\displaystyle \mathbb {E} [S_{n}^{2}]=\textstyle {\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}(X)}$.

Una spiegazione del termine ${\displaystyle n-1}$ è data dalla necessità di stimare anche la media che per il teorema del limite centrale ha varianza 1/n. Se la media è nota, lo stimatore ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ diventa corretto. Questa è detta "correzione di Bessel".

Se le ${\displaystyle X_{i}}$ sono variabili aleatorie normali ${\displaystyle N(\mu ,\sigma )}$, lo stimatore ${\displaystyle S_{n-1}^{2}}$ è una variabile aleatoria con distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$.

Esempio

Il campione di ${\displaystyle n=5}$ elementi ${\displaystyle \{-4,-1,1,2,7\}}$ ha media campionaria pari a:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {-4-1+1+2+7}{5}}=1}$

e gli stimatori della varianza valgono rispettivamente

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {(-4-1)^{2}+(-1-1)^{2}+(1-1)^{2}+(2-1)^{2}+(7-1)^{2}}{5}}={\frac {25+4+0+1+36}{5}}={\frac {66}{5}}=13,2}$

e

${\displaystyle S_{n-1}^{2}={\frac {66}{5-1}}=16,5.}$

Voci correlate

• Covarianza (probabilità)
• Legge della varianza totale
• Deviazione standard
• Valore atteso
• Variabili dipendenti e indipendenti
• Formula computazionale per la varianza
• Algoritmi per il calcolo della varianza

Altri progetti

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «varianza»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla varianza

Collegamenti esterni

• (EN) variance, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Varianza, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) IUPAC Gold Book, "variance", su goldbook.iupac.org.

V · D · M Statistica
Teoria statistica	Statistica descrittiva Media (aritmetica · geometrica · armonica · di potenza · aritmetico-geometrica · integrale) · Mediana · Moda · Intervallo di variazione · Varianza · Deviazione standard · Scarto medio assoluto · Simmetria · Differenza media (assoluta · logaritmica) · Curtosi Inferenza statistica Test di verifica d'ipotesi · Significatività · Ipotesi nulla/alternativa · Errore del I e del II tipo · Test Q · Test U · Test t · Test Z · Massima verosimiglianza · Standardizzazione · Valore p · Analisi della varianza Analisi di sopravvivenza Tasso di guasto · Stimatore di Kaplan-Meier · Test dei ranghi logaritmici Analisi della regressione Regressione lineare · Regressione nonlineare · Variabili strumentali · Metodo generalizzato dei momenti · Regressione logistica · Modello probit · Modello logit
Statistica economica	Istituti statistici ISTAT · EuroSTAT · Royal Statistical Society · U.S. Census Bureau · ISI · INSEE Siti web statistici Our World in Data · Statista · Bloomberg Terminal · Google Public Data Explorer · World Inequality Database · TradingEconomics · ACLED Software econometrici gretl · EViews

V · D · M Concetti fondamentali di metrologia, statistica e metodologia della ricerca
Definizioni di base	Misurazione · Misura di probabilità · Proprietà fisica · Grandezza fisica · Parametro · Popolazione statistica · Valore vero · Campione · Misurando · Precisione · Accuratezza · Ripetibilità · Riproducibilità · Significatività · Tolleranza · Sensibilità · Risoluzione (Risoluzione laterale) · Omoschedasticità · Eteroschedasticità · Ipotesi statistica · Ipotesi nulla · Approssimazione · Cifra significativa · Variabile casuale · Normalizzazione · Standardizzazione
Trattamento degli errori	Incertezza di misura · Errore di misurazione · Errore sistematico · Errore statistico · Errore di sensibilità · Falso positivo e falso negativo · Errore assoluto · Errore relativo · Propagazione degli errori · Bias
Minimizzazione dell'errore	Bianco analitico · Taratura · Calibrazione · Rapporto segnale/rumore · Confronto interlaboratorio · Qualità dei dati · Outlier
Campionamento	Spazio campionario · Campionamento statistico · Piano di campionamento · Campionamento ragionato · Campionamento per quote · Campionamento casuale (Campionamento sistematico · Campionamento stratificato · Campionamento a grappoli · Campionamento multistadio) · Campionamento probabilistico
Parametri di varianza	Varianza · Covarianza · Scarto quadratico medio · Devianza · Intervallo dinamico · Coefficiente di variazione
Test	Test di verifica d'ipotesi (Test parametrico· Test non parametrico) · Intervallo di confidenza · Valore p

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 22052 · GND (DE) 4078739-4 · NDL (EN, JA) 00561029