Granica niewłaściwa funkcji

Ten artykuł od 2011-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne, to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych.

Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych^{[potrzebny przypis]}. Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.

Definicje Heinego

Definicje sformułowane przez Heinego.

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie określona na przedziale ${\displaystyle (a,\infty ),}$ ${\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}$ Liczba ${\displaystyle g}$ jest granicą właściwą funkcji ${\displaystyle f}$ w ${\displaystyle \infty ,}$ co zapisujemy

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=g}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}$

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie określona na przedziale ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}$ Liczba ${\displaystyle g}$ jest granicą właściwą funkcji ${\displaystyle f}$ w ${\displaystyle -\infty ,}$ co zapisujemy

${\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=g}$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie określona na przedziale ${\displaystyle (a,\infty ),}$ ${\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}$ Funkcja ${\displaystyle f}$ ma w ${\displaystyle \infty }$ granicę niewłaściwą ${\displaystyle \infty ,}$ co zapisujemy

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie określona na przedziale ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}$ Funkcja ${\displaystyle f}$ ma w ${\displaystyle -\infty }$ granicę niewłaściwą ${\displaystyle \infty ,}$ co zapisujemy

${\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie określona na przedziale ${\displaystyle (a,\infty ),}$ ${\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}$ Funkcja ${\displaystyle f}$ ma w ${\displaystyle \infty }$ granicę niewłaściwą ${\displaystyle -\infty ,}$ co zapisujemy

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie określona na przedziale ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}$ Funkcja ${\displaystyle f}$ ma w ${\displaystyle -\infty }$ granicę niewłaściwą ${\displaystyle -\infty ,}$ co zapisujemy

${\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=-\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}$

Linki zewnętrzne

• Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19].
• Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-19].
• Szymon Charzyński, nagrania na kanale Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]:
  • Wprowadzenie do granic niewłaściwych, 27 marca 2022.
  • Granice niewłaściwe funkcji wymiernych, 2 maja 2017.