十一角形

正十一角形

十一角形（じゅういちかくけい、じゅういちかっけい、hendecagon）は、多角形の一つで、11本の辺と11個の頂点を持つ図形である。内角の和は1620°、対角線の本数は44本である。

正十一角形

正十一角形においては、中心角と外角は32.72…°で、内角は147.27…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十一角形の面積 S は

S = 11 4 a 2 cot ⁡ π 11 ≃ 9.36564 a 2 {\displaystyle S={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}}

となる。

cos ⁡ ( 2 π / 11 ) {\displaystyle \cos(2\pi /11)} の値は冪根を用いて以下となる[1]。

cos ⁡ 2 π 11 = − 1 10 + − 1 + 5 + i 10 + 2 5 40 { − 11 4 { 89 + 25 5 + ( 45 5 − 2 5 − 5 5 + 2 5 ) i } 5 + − 11 4 { 89 − 25 5 + ( 5 5 − 2 5 + 45 5 + 2 5 ) i } 5 } + − 1 + 5 − i 10 + 2 5 40 { − 11 4 { 89 + 25 5 − ( 45 5 − 2 5 − 5 5 + 2 5 ) i } 5 + − 11 4 { 89 − 25 5 − ( 5 5 − 2 5 + 45 5 + 2 5 ) i } 5 } = 0.841253 … {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{11}}=&-{\frac {1}{10}}\\&+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{40}}\left\lbrace {\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89+25{\sqrt {5}}+\left(45{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}+{\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89-25{\sqrt {5}}+\left(5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+45{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}\right\rbrace \\&+{\frac {-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{40}}\left\lbrace {\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89+25{\sqrt {5}}-\left(45{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}+{\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89-25{\sqrt {5}}-\left(5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+45{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}\right\rbrace \\=&0.841253\dots \end{aligned}}}

正十一角形はコンパスと定規だけではもちろん、目盛り付き定規を用いても作図が不可能な図形である。折り紙による作図も不可能である。

正十一角形の作図

正十一角形はネウシス作図[2]や折り紙の多重折り[3]であれば作図可能となり、当然、面積が最大の正十一角形は折れる。

正十一角形を用いたもの

2023年現在流通しているカナダ1ドル硬貨は正十一角形をデザインの中に含む（→w:Loonie）。

アメリカ合衆国にも正十一角形をデザインの中に含む1ドル硬貨があった（→w:Susan B. Anthony dollar）。

スーザン・B・アンソニー1＄硬貨

脚注

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  1. ^ cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
  2. ^ Benjamin, Elliot; Snyder, C. (2014). “On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Cambridge University Press) 156 (3): 409-424. doi:10.1017/S0305004113000753. 
  3. ^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213. https://cms.math.ca/crux/v44/n5/. 

関連項目

ウィキメディア・コモンズには、十一角形に関連するカテゴリがあります。
ポータル 数学
ポータル 数学

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Hendecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
  • 折り紙で正 11 角形を折る (PDF) 奈良女子大学附属中等教育学校
  • 西村保三, 山本一海「折り紙による5次方程式の解法-3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図-」『福井大学教育地域科学部紀要』第3巻、福井大学教育地域科学部、2013年1月、59-66頁、ISSN 2185-369X。 
  • 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
非古典的 (2辺以下)
辺の数: 3–10
三角形
四角形
五角形
六角形
  • 正六角形
  • 円に内接する六角形
  • 円に外接する六角形
  • ルモワーヌの六角形（英語版）
辺の数: 11–20
辺の数: 21–30
辺の数: 31–40
辺の数: 41–50
辺の数: 51–70
（selected）
辺の数: 71–100
（selected）
辺の数: 101–
（selected）
無限
星型多角形
（辺の数: 5–12）
多角形のクラス
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