正七十八角形 七十八角形(ななじゅうはちかくけい、ななじゅうはちかっけい、heptacontaoctagon)は、多角形の一つで、78本の辺と78個の頂点を持つ図形である。内角の和は13680°、対角線の本数は2925本である。
正七十八角形
正七十八角形においては、中心角と外角は4.615…°で、内角は175.384…°となる。一辺の長さが a の正七十八角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {78}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{78}}\simeq 483.88751a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3a76713e9af9faf01244595c793dd81a92c2a4)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{78}}+2\cos {\frac {46\pi }{78}}+2\cos {\frac {34\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{1}\\2\cos {\frac {22\pi }{78}}+2\cos {\frac {38\pi }{78}}+2\cos {\frac {62\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {13}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{2}\\2\cos {\frac {70\pi }{78}}+2\cos {\frac {50\pi }{78}}+2\cos {\frac {58\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {13}}-{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{3}\\2\cos {\frac {10\pi }{78}}+2\cos {\frac {74\pi }{78}}+2\cos {\frac {14\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{4}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f4ebc362d6e792dc1a3b9162e0db48e8eb4ea2)
さらに、以下のような関係式が得られる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{78}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {46\pi }{78}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{78}}\right)^{3}=&3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}+6(x_{4}-2)+3\omega \left(2x_{1}+x_{3}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\right)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\right)\\=&3x_{1}+{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}+6(x_{2}-2)+3\omega \left(2x_{1}+x_{3}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{2}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)\\=&{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}-3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{78}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{78}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {34\pi }{78}}\right)^{3}=&3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}+6(x_{4}-2)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{3}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\right)+3\omega \left(2x_{1}+x_{4}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\right)\\=&3x_{1}+{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}+6(x_{2}-2)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{3}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)+3\omega \left(2x_{1}+x_{2}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\right)\\=&{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}+3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4846361350e8962e52e24550dc367c622ea010b0)
両辺の立方根を取ると
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{78}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {46\pi }{78}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{78}}=&{\sqrt[{3}]{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}-3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{78}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{78}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {34\pi }{78}}=&{\sqrt[{3}]{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}+3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7ec08e2f175f56c21b9afce314f95fd9f30a12)
よって
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{78}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {-1-{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}}{4}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}-3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}+3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a20aa9c496681ad754f6c31b5f9898677d6e53)
正七十八角形の作図
正七十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正七十八角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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