Teorema de Prokhorov

Em teoria da medida, o teorema de Prokhorov relaciona o aperto das medidas à compacidade (e assim à convergência fraca) no espaço das medidas de probabilidade. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Yuri Prokhorov, que considerava medidas de probabilidade em espaços métricos separáveis completos. O termo "teorema de Prokhorov" é também aplicado a generalizações posteriores tanto às afirmações diretas, como inversas.^[1]

Afirmação do teorema

Considere ${\displaystyle (S,\rho )}$ um espaço métrico separável. Considere que ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ denota a coleção de todas as medidas de probabilidade definidas em ${\displaystyle S}$ (com sua σ-álgebra de Borel).

O teorema de Prokhorov afirma que:

1. Uma coleção ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ de medidas de probabilidade é apertada se e apenas se o fecho de ${\displaystyle K}$ for sequencialmente compacto no espaço ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ equipado com a topologia de convergência fraca;
2. O espaço ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ com a topologia de convergência fraca é metrizável;
3. Suponha que, além disso, ${\displaystyle (S,\rho )}$ é um espaço métrico completo (de modo que ${\displaystyle (S,\rho )}$ é um espaço polonês). Há uma métrica completa ${\displaystyle d_{0}}$ em ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ equivalente à topologia de convergência fraca. Ademais, ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ é apertada se e apenas se o fecho de ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$ for compacto.^[2]

Corolários

Para espaços euclidianos, temos que:

• Se ${\displaystyle (\mu _{n})}$ for uma sequência apertada em ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$ (a coleção de medidas de probabilidade em um espaço euclidiano ${\displaystyle k}$-dimensional), então, há uma subsequência ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ e uma medida de probabilidade ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$, tal que ${\displaystyle \mu _{n_{k}}}$ converge fracamente a ${\displaystyle \mu }$.
• Se ${\displaystyle (\mu _{n})}$ for uma sequência apertada em ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$, tal que toda subsequência fracamente convergente ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$ tem o mesmo limite ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})}$, então, a sequência ${\displaystyle (\mu _{n})}$ converge fracamente a ${\displaystyle \mu }$.^[3]

Extensão

O teorema de Prokhorov pode ser estendido para considerar medidas complexas ou medidas sinalizadas finitas.

Suponha que ${\displaystyle (S,\rho )}$ é um espaço métrico separável completo e ${\displaystyle \Pi }$ é uma família de medidas complexas de Borel em ${\displaystyle S}$. As seguintes afirmações são equivalentes:

• ${\displaystyle \Pi }$ é sequencialmente compacta, isto é, toda sequência ${\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }$ tem uma subsequência fracamente convergente.
• ${\displaystyle \Pi }$ é apertada e uniformemente limitada em norma de variação total.^[4]

Comentários

Já que o teorema de Prokhorov expressa o aperto em termos de compacidade, o teorema de Arzelà–Ascoli é frequentemente usado para substituir a compacidade: em espaços de função, isto leva a uma caracterização do aperto em termos do módulo de continuidade ou um análogo apropriado.^[3][4]

Há várias extensões profundas e não triviais ao teorema de Prokhorov. Entretanto, estes resultados não obscurecem a importância e a relevância das aplicações do resultado original.

Ver também

• Métrica de Lévy–Prokhorov

Referências