Processo empírico

Em teoria das probabilidades, um processo empírico é um processo estocástico que descreve a proporção de objetos em um sistema em um dado estado. Para um processo em um espaço de estados discreto, uma cadeia de Markov populacional de tempo contínuo^[1][2] ou modelo populacional de Markov^[3] é um processo que conta o número de objetos em um dado estado (sem reescalonamento). Na teoria de campo médio, teoremas do limite (conforme o número de objetos se torna grande) são considerados e generalizam o teorema central do limite para medidas empíricas.^[4] Aplicações da teoria dos processos empíricos surgem na estatística não paramétrica.^[5]

Definição

Para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ com função distribuição acumulada comum ${\displaystyle F(x)}$, a função distribuição empírica é definida por:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{(-\infty ,x]}(X_{i}),}$

em que ${\displaystyle I_{C}}$ é a função indicadora do conjunto ${\displaystyle C}$.^[6]

Para todo ${\displaystyle x}$ fixo, ${\displaystyle F_{n}(x)}$ é uma sequência de variáveis aleatórias que converge a ${\displaystyle F(x)}$ quase certamente pela lei forte dos grandes números, isto é, ${\displaystyle F_{n}}$ converge pontualmente a ${\displaystyle F}$. O matemático ucraniano Valery Glivenko e o matemático italiano Francesco Paolo Cantelli fortaleceram este resultado ao provar a convergência uniforme de ${\displaystyle F_{n}}$ a ${\displaystyle F}$ pelo teorema de Glivenko–Cantelli.^[7]

Uma versão centralizada e escalonada da medida empírica é a medida sinalizada:

${\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A)).}$

Isto induz um mapa sobre as funções mensuráveis ${\displaystyle f}$ dado por:

${\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right).}$

Pelo teorema central do limite, ${\displaystyle G_{n}(A)}$ converge em distribuição a uma variável aleatória normal ${\displaystyle N(0,P(A)(1-P(A)))}$ para um conjunto mensurável fixo ${\displaystyle A}$.^[8] De forma semelhante, para uma função fixa ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle G_{n}f}$ converge em distribuição a uma variável aleatória normal ${\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})}$, desde que ${\displaystyle \mathbb {E} f}$ e ${\displaystyle \mathbb {E} f^{2}}$.^[9]

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$ é um processo empírico indexado por ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, uma coleção de subconjuntos mensuráveis de ${\displaystyle S}$.^[10]

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}f{\bigr )}_{f\in {\mathcal {F}}}}$ é um processo empírico indexado por ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, uma coleção de funções mensuráveis de ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^[11]

Um resultado significante na área dos processos empíricos é o teorema de Donsker. Isto levou a um estudo das classes de Donsker: conjuntos de funções com a útil propriedade de processo empíricos indexados por estas classes que convergem fracamente a um certo processo gaussiano.^[12] Ainda que se possa mostrar que classes de Donsker são classes de Glivenko–Cantelli, o contrário não é verdadeiro em geral.

Exemplo

Como um exemplo, considere funções distribuição empírica. Para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de valores reais ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$, elas são dadas por:

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}((-\infty ,x])=P_{n}I_{(-\infty ,x]}.}$

Neste caso, processos empíricos são indexados por uma classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]:x\in \mathbb {R} \}.}$. Mostrou-se que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ é uma classe de Donsker em particular.^[13]

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$ converge fracamente em ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ a uma ponte browniana ${\displaystyle B(F(x))}$.

Referências