Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.[1]
Isto é, uma matriz
é ortogonal se
Definição
Uma matriz
é dita ortogonal se:
- ortogonal se for invertível, isto é:
; (necessário, mas não é suficiente) - ortogonal se somente se sua matriz inversa
coincide com sua matriz transposta
, isto é:
(necessário e suficiente)
Exemplos
;
![{\displaystyle R_{\theta }={\begin{bmatrix}\cos \,\theta &{\text{-sen}}\,\theta \\{\text{sen}}\,\theta &\cos \,\theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae163cfcca598839466bf43fc3e501ddd957936)
- Matriz de reflexão em torno do eixo
:
![{\displaystyle R_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0b76a8e5c6a7a77322bd7cc3ff520327eac8f8)
Propriedades
Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]
- Se
é uma matriz ortogonal, então
.[demonstração 1]
- A matriz
é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.[demonstração 2]
- A matriz
é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.[demonstração 3]
- A matriz
é ortogonal se, e somente se, sua transposta
também é.[demonstração 4]
- Se
é uma matriz ortogonal, então
é ortogonal se, e somente se,
.[demonstração 5]
Ver também
- Matriz ortogonalmente diagonalizável
Referências
Bibliografia
- Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086
- Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445
- Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093
- Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185
Demonstrações
- ↑ Da definição, tem-se que:
, então
. Pelo Teorema de Binet,
, então
.
No entanto, sabe-se também da definição que
implica
.
Logo,
, de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se
. - ↑ Seja
uma matriz ortogonal, onde
indica a i-ésima coluna de
. Como
, temos
, donde vemos que: ![{\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=\left\{{\begin{array}{ll}1&,~i=j\\0&,~i\neq j\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aab040c4ad9ede31886478d426416481a4e351e)
isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna
é um conjunto ortonormal.
Reciprocamente, se as colunas de
formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que
. - ↑ Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
- ↑ Segue imediatamente da observação de que:
.
- ↑ Por hipótese,
. Com isso, temos:
.
Agora,
se, e somente se,
. Isso completa a demonstração.