Zbiór otwarto-domknięty

Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady

  • W każdej przestrzeni topologicznej X , {\displaystyle X,} zbiór pusty oraz cała przestrzeń X {\displaystyle X} są zbiorami otwarto-domkniętymi.
  • Niech przestrzeń X = [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , 3 ] {\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]} będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń X {\displaystyle X} ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, X , [ 0 , 1 ] , [ 2 , 3 ] . {\displaystyle X,[0,1],[2,3].}
  • Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru Q {\displaystyle \mathbb {Q} } liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór A = { r ∈ Q : r 2 < 2 } {\displaystyle A=\{r\in \mathbb {Q} :r^{2}<2\}} jest otwarto-domkniętym podzbiorem Q . {\displaystyle \mathbb {Q} .} Ogólniej, jeśli I {\displaystyle I} jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to I ∩ Q {\displaystyle I\cap \mathbb {Q} } jest otwarto-domkniętym podzbiorem Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej R {\displaystyle \mathbb {R} } ).
  • Jeśli J ⊆ R {\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} } jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to J ∖ Q {\displaystyle J\setminus \mathbb {Q} } jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w R {\displaystyle \mathbb {R} } ).

Własności

  • Przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X {\displaystyle X} są zbiór pusty oraz cała przestrzeń X . {\displaystyle X.}
  • Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
  • Rodzina C l o p ( X ) {\displaystyle \mathrm {Clop} (X)} wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni X {\displaystyle X} tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura ( C l o p ( X ) , ∪ , ∩ , ′ , ∅ , X ) {\displaystyle (\mathrm {Clop} (X),\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)} jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Zobacz też

Bibliografia

  • Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 234. ISBN 978-83-01-15232-1.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Clopen, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].