Zbiór doskonały

Zbiór doskonały – zbiór domknięty i wszędzie gęsty.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli ${\displaystyle A^{d}}$ oznacza pochodną zbioru ${\displaystyle A,}$ to w przestrzeni T1 zbiór ${\displaystyle A}$ jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną: ${\displaystyle A=A^{d}.}$

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.

Zbiory doskonałe w przestrzeniach polskich

Przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X}$ nazywamy przestrzenią polską jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa.

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest doskonałą przestrzenią polską, to zawiera kopię homeomorficzną zbioru Cantora. W szczególności oznacza to, że ${\displaystyle X}$ jest mocy ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}$

Twierdzenie Cantora-Bendixsona. Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią polską. Wówczas ${\displaystyle X}$ można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci ${\displaystyle X=P\cup C,}$ gdzie ${\displaystyle P}$ jest zbiorem doskonałym a ${\displaystyle C}$ zbiorem przeliczalnym otwartym. W szczególności każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest mocy ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$^[1].

Przypisy