Przekształcenie unitarne

Ten artykuł od 2024-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Przekształcenie unitarne, przekształcenie ortogonalne – przekształcenie liniowe dwóch przestrzeni unitarnych (euklidesowych) zachowujące iloczyn skalarny, tzn. taka bijekcja ${\displaystyle \mathrm {U} \colon X\to Y}$ tych przestrzeni, dla której zachodzi

${\displaystyle {\big \langle }\mathrm {U} (\mathbf {x} ),\mathrm {U} (\mathbf {y} ){\big \rangle }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$

(1)

dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,}$ gdzie ${\displaystyle \cdot }$ oznacza iloczyn skalarny w ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ jest iloczynem skalarnym w ${\displaystyle Y.}$

Macierzą tego przekształcenia jest macierz unitarna (lub macierz ortogonalna). Jeśli ${\displaystyle X=Y,}$ to przekształcenie to nazywa się operatorem unitarnym na ${\displaystyle X.}$ Każde przekształcenie unitarne jest izometrią. Pojęcie to odgrywa istotną rolę w teorii przestrzeni Hilberta (będącej przestrzenią unitarną).

Każde przekształcenie unitarne zachowuje długości wektorów, co wynika z przyjęcia ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} }$ w (1).