Dopełnienie ortogonalne

Dopełnienie ortogonalne podzbioru A {\displaystyle A} przestrzeni V {\displaystyle V} z określonym iloczynem skalarnym – zbiór wszystkich elementów w przestrzeni V , {\displaystyle V,} które są ortogonalne do każdego elementu zbioru A . {\displaystyle A.} Symbolicznie:

A ⊥ := { x ∈ V : ∀ y ∈ A   ⟨ x , y ⟩ = 0 } . {\displaystyle A^{\bot }:=\left\{x\in V:\forall y\in A\ \langle x,y\rangle =0\right\}.}

Własności

  • Dopełnienie ortogonalne podzbioru przestrzeni Hilberta jest zbiorem domkniętym.
  • W przestrzeni Hilberta H {\displaystyle {\mathcal {H}}} dwukrotne złożenie dopełnienia ortogonalnego dla danego zbioru A ⊆ H {\displaystyle A\subseteq {\mathcal {H}}} jest domknięciem powłoki liniowej, tj.
( A ⊥ ) ⊥ = l i n A ¯ . {\displaystyle (A^{\bot })^{\bot }={\overline {\mathrm {lin} A}}.}