Pojęcie forsingu

Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru ${\displaystyle \mathbb {P} }$ są nazywane warunkami, a dla ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$ takich że ${\displaystyle q\leqslant p}$ mówimy, że warunek ${\displaystyle q}$ jest silniejszy niż warunek ${\displaystyle p}$. Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Szelach i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu^[1].

Związek z zupełnymi algebrami Boole’a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole’a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole’a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle U\subseteq X}$ jest regularnie otwarty jeśli ${\displaystyle \mathrm {int} (\mathrm {cl} (U))=U}$ (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie ${\displaystyle \mathrm {RO} (X)}$ wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

${\displaystyle U+V=\mathrm {int} (\mathrm {cl} (U\cup V)),}$     ${\displaystyle U\cdot V=U\cap V}$   oraz   ${\displaystyle \sim U=X\setminus \mathrm {cl} (U).}$

Wówczas ${\displaystyle (\mathrm {RO} (X),+,\cdot ,\sim ,\varnothing ,X)}$ jest zupełną algebrą Boole’a.

Powiemy, że częściowy porządek ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ jest separatywny jeśli dla każdych warunków ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} }$ takich że ${\displaystyle q\not \leqslant p}$ można znaleźć warunek ${\displaystyle r\in \mathbb {P} }$ który jest silniejszy niż q (tzn. ${\displaystyle r\leqslant q}$) oraz sprzeczny z p (tzn. nie ma żadnego warunku ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ który by spełniał jednocześnie ${\displaystyle s\leqslant p}$ oraz ${\displaystyle s\leqslant r}$).

Przypuśćmy teraz, że ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ połóżmy ${\displaystyle U_{p}=\{q\in \mathbb {P} :q\leqslant p\}.}$ Wówczas rodzina ${\displaystyle \{U_{p}:p\in \mathbb {P} \}}$ jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {P} .}$ Każdy zbiór ${\displaystyle U_{p}}$ jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

${\displaystyle p\mapsto U_{p}\colon \mathbb {P} \longrightarrow \mathrm {RO} (\mathbb {P} )}$

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry ${\displaystyle \mathrm {RO} (\mathbb {P} )}$ (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór ${\displaystyle \mathbb {P} }$ zawiera pewien zbiór ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle (p\in \mathbb {P} )}$).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole’a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na ${\displaystyle \mathbb {P} .}$)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

• Forsing Cohena^[2]:

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,

porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli ${\displaystyle q\leqslant p}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p\trianglelefteq q}$);

powyżej, symbol ${\displaystyle \trianglelefteq }$ oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i ${\displaystyle \trianglelefteq \ =\ \subseteq }$).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\displaystyle {\mathcal {B}}/{\mathcal {K}},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest ${\displaystyle \sigma }$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ jest rodziną wszystkich zbiorów ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ które są pierwszej kategorii.

• Forsing Solovaya^[3]:

warunkami są te domknięte podzbiory ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ które mają dodatnią miarę Lebesgue’a,

porządkiem jest relacja zawierania (tzn. ${\displaystyle q\leqslant p}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle q\subseteq p}$).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\displaystyle {\mathcal {B}}/{\mathcal {L}},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest ${\displaystyle \sigma }$-ciałem borelowskich podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ jest rodziną tych zbiorów ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ które są miary zero.

• Forsing Lavera^[4]:

warunkami są zbiory ${\displaystyle T}$ skończonych ciągów liczb naturalnych takie że

(a) ${\displaystyle (\forall t\in T)(\forall n)(t{\upharpoonright }n\in T)}$ oraz

(b) ${\displaystyle (\exists s\in T)(\forall t\in T)([s\subseteq t\ \vee t\subseteq s]\ \wedge \ [s\subseteq t\ \Rightarrow \ \{n\in \mathbb {N} :t^{\frown }\langle n\rangle \in T\}}$ jest nieskończony]).

porządkiem jest relacja zawierania (tzn. ${\displaystyle T\leqslant S}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle T\subseteq S}$).

• Forsing Mathiasa^[5]:

warunkami są pary ${\displaystyle (w,A)}$ takie, że ${\displaystyle w}$ jest skończonym zbiorem liczb naturalych, ${\displaystyle A}$ jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz ${\displaystyle \max(w)<\min(A),}$

porządek jest zdefiniowany przez ${\displaystyle (w',A')\leqslant (w,A)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle w\subseteq w',}$ ${\displaystyle A'\subseteq A}$ oraz ${\displaystyle w'\setminus w\subseteq A.}$

• Forsing Hechlera:

warunkami są pary ${\displaystyle (n,f)}$ takie, że ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną, a ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ jest funkcją.

porządek jest zdefiniowany przez ${\displaystyle (n',f')\leqslant (n,f)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n\leqslant n',}$ ${\displaystyle f(k)\leqslant f'(k)}$ dla każdego ${\displaystyle k,}$ i ${\displaystyle f{\upharpoonright }n=f'{\upharpoonright }n}$

• Forsing Sacksa:

warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

• Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ spełnia ${\displaystyle \kappa }$-cc jeśli każdy antyłańcuch w ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa .}$ Jeśli ${\displaystyle \mathbb {P} }$ spełnia ${\displaystyle \aleph _{1}}$-cc to mówimy wtedy też, że ${\displaystyle \mathbb {P} }$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ spełnia ccc („countable chain condition”)
• Dla liczby kardynalnej κ, powiemy, że pojęcie forsingu ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leqslant )}$ jest ${\displaystyle (<\kappa )}$-domknięte jeśli każdy łańcuch w ${\displaystyle \mathbb {P} }$ mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa }$ ma ograniczenie dolne.
• Niech ${\displaystyle \chi }$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\chi )}$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż ${\displaystyle \chi .}$ Przypuśćmy, że ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest pojęciem forsingu a ${\displaystyle N}$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in )}$ takim, że ${\displaystyle \mathbb {P} \in N.}$ Powiemy, że warunek ${\displaystyle q\in \mathbb {P} }$ jest warunkiem ${\displaystyle (N,\mathbb {P} )}$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {P} }$ który należy do modelu ${\displaystyle N}$ mamy

dla każdego ${\displaystyle r\in {\mathcal {A}},}$ jeśli ${\displaystyle r,q}$ są niesprzeczne, to ${\displaystyle r\in N.}$

(Przypomnijmy, że warunki ${\displaystyle r,q}$ są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest proper^[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \chi }$ istnieje ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}(\chi )}$ taki, że:

jeśli ${\displaystyle N}$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ,x\in N}$ oraz ${\displaystyle p\in \mathbb {P} \cap N,}$

to istnieje warunek ${\displaystyle q\leqslant p}$ który jest ${\displaystyle (N,\mathbb {P} )}$-generyczny.

Zobacz też

• aksjomat Martina
• PFA

Przypisy