Catégorie groupoïde

Ne pas confondre avec la structure de magma en algèbre, parfois aussi dénommée « groupoïde ».

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927^[1].

Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.

Définitions

Définition au sens des catégories

Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

Définition algébrique

Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie ${\displaystyle *}$ et une application (partout définie) ${\displaystyle .^{-1}}$, qui satisfont les trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :

• chaque fois que ${\displaystyle f*g}$ et ${\displaystyle g*h}$ sont définis simultanément, alors ${\displaystyle (f*g)*h}$ et ${\displaystyle f*(g*h)}$ sont aussi définis, et sont égaux, on les note ${\displaystyle fgh}$ ou ${\displaystyle f*g*h}$. Réciproquement, si ${\displaystyle (f*g)*h}$ ou ${\displaystyle f*(g*h)}$ sont définis, il en est de même de ${\displaystyle f*g}$ et ${\displaystyle g*h}$ ;
• ${\displaystyle f^{-1}*f}$ et ${\displaystyle f*f^{-1}}$ sont toujours définis (mais éventuellement différents) ;
• chaque fois que ${\displaystyle f*g}$ est défini, alors ${\displaystyle f*g*g^{-1}=f}$, et ${\displaystyle f^{-1}*f*g=g}$. (Ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).

On montre alors que :

• si ${\displaystyle x*f=u*f}$ alors ${\displaystyle x=u}$. Il suffit en effet de composer à droite par ${\displaystyle f^{-1}}$ ;
• si ${\displaystyle f*y=f*v}$ alors ${\displaystyle y=v}$. Il suffit en effet de composer à gauche par ${\displaystyle f^{-1}}$ ;
• ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f}$. En effet, ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f=f}$ ;
• si ${\displaystyle f*g}$ est défini, il en est de même de ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}}$, et ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}=(f*g)^{-1}}$. En effet, ${\displaystyle f=f*g*g^{-1}}$ donc ${\displaystyle f*f^{-1}=f*g*g^{-1}*f^{-1}}$ ce qui suffit à assurer l'existence de ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}}$. Par ailleurs, ${\displaystyle f^{-1}*f*g*(f*g)^{-1}=f^{-1}=f^{-1}*f*f^{-1}=f^{-1}*f*g*g^{-1}*f^{-1}}$ et il suffit de simplifier à gauche ${\displaystyle f^{-1}}$, ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$.

Lien entre les deux notions

À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.

Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les ${\displaystyle x=f^{-1}*f}$ lorsque ${\displaystyle f}$ varie (on remarque que ces éléments vérifient : ${\displaystyle x^{-1}=x=x^{n}}$). L'ensemble des morphismes x→y, noté ${\displaystyle G(f^{-1}*f,g^{-1}*g)=G(x,y)}$, est l'ensemble des h tels que ${\displaystyle y*h*x}$ est défini (cet ensemble pouvant être vide).

Exemples

• Les groupes sont des groupoïdes (avec un seul objet ${\displaystyle x}$ et pour ensemble de flèches (morphismes) ${\displaystyle G(x,x)=G}$).
• Le groupoïde de Poincaré est un groupoïde.
• Toute réunion disjointe ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}G_{i}}$ de groupes est un groupoïde, dont l'ensemble des objets est l'ensemble ${\displaystyle I}$ des indices.
• À partir d'une action de groupe on peut définir un groupoïde en posant G(x,y) = l'ensemble des éléments du groupe qui envoient x sur y.

Propriétés

Les (petits) groupoïdes forment eux-mêmes une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes. Le groupoïde initial est le groupoïde vide et le groupoïde final est le groupe trivial.

Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence ${\displaystyle x\equiv {}\,y}$ si G(x,y) est non vide. Elle définit un groupoïde quotient noté ${\displaystyle \pi _{0}(G)}$. ${\displaystyle \pi _{0}}$ définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.

Soient G un groupoïde et ${\displaystyle x}$ un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de ${\displaystyle G(x,x)}$ restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note ${\displaystyle \pi _{1}(G,x)}$ ce groupe.

Notes et références

• (en) Ronald Brown, Topology and Groupoids, BookSurge, 2006, 3^e éd., 512 p. (ISBN 978-1-4196-2722-4)

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