Catégorie des anneaux

En mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire^[1].

Définition

Catégorie des anneaux

La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi :

• Les objets sont les anneaux ;
• Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné.

Catégorie des anneaux commutatifs

La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing. Il s'agit d'une sous-catégorie réflexive (en) : en effet, tout anneau peut être rendu commutatif en prenant son quotient par l'idéal engendré par les éléments de la forme ab - ba. Cette opération définit un foncteur

${\displaystyle \mathrm {Ring} \to \mathrm {CRing} }$

qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion

${\displaystyle \mathrm {CRing} \hookrightarrow \mathrm {Ring} }$

La catégorie CRing est close par limites (mais pas par les colimites).

En géométrie algébrique, un résultat fondamental est qu'il y a une équivalence de catégories entre la catégorie opposée à CRing et la catégorie Aff des schémas affines, qui correspond au foncteur Spec :

${\displaystyle \mathrm {Spec} :\mathrm {Aff} \to \mathrm {CRing} }$.

Adjonctions

Un anneau est un monoïde dans la catégorie des groupes abéliens. On peut définir de manière naturelle les foncteurs d'oubli

${\displaystyle A:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Ab} }$ (oubli de la structure multiplicative)

${\displaystyle M:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Mon} }$ (oubli de la structure additive)

Le foncteur A admet un adjoint à gauche qui associe à tout groupe abélien G l'anneau tensoriel T(G)^[2]. Le foncteur M admet un adjoint à gauche qui à tout monoïde N associe l'anneau de monoïde ${\displaystyle \mathbb {Z} [N]}$.

En oubliant simultanément les deux structures, on obtient le foncteur d'oubli

${\displaystyle U:\mathrm {Ring} \to \mathrm {Set} }$

dans la catégorie des ensembles. Ce foncteur admet un adjoint à gauche F qui à tout ensemble associe l'anneau librement engendré par les éléments de cet ensemble.

Propriétés de la catégorie des anneaux

Propriétés catégoriques

• Ring est localement petite, mais ce n'est pas une petite catégorie ;
• Ring est une catégorie concrète ;
• Ring est une catégorie complète et cocomplète ;
• Ring est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel ${\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}$ comme produit monoïdal et ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ comme unité ;
• Ring n'est ni préadditive, ni additive, ni abélienne car elle n'admet pas d'objet zéro ;
• Un monoïde sur Ring est un anneau commutatif, c'est le théorème d'Eckmann-Hilton (en) ;

Objets

• L'objet initial^[3] est l'anneau des entiers relatifs ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ;
• L'objet injectif (en) et l'objet terminal est l'anneau trivial^[4] 1 ;
• Ring n'a pas d'objet zéro.

Morphismes

• Les isomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneaux bijectifs ;
• Les monomorphismes de Ring sont les morphismes d'anneau injectifs ;
• Les épimorphismes réguliers correspondent aux épimorphismes extrémaux, qui sont dans Ring les morphismes d'anneaux surjectifs. Tout morphisme d'anneaux surjectif est donc un épimorphisme, mais la réciproque n'est pas vraie^[5] ;
• Les bimorphismes de Ring sont les épimorphismes injectifs, et ne coïncident donc pas avec les isomorphismes^[6] ;

Limites

• Les foncteurs d'oubli vers Ab, Mon ou Set créent et préservent les limites et les colimites filtrées (mais pas les coproduits ou coégaliseurs en général)
• Le produit dans Ring est le produit d'anneaux ;
• Le coproduit dans Ring est le produit libre d'anneaux ;
• L'égaliseur correspond à l'égaliseur dans la catégorie des ensembles ;
• Le coégaliseur de deux morphismes d'anneaux f, g : R → S est le quotient R/I où I est l'idéal engendré par les éléments de la forme f(r) - g(r), où r est un élément de R.
• La limite projective dans Ring des anneaux d'entiers modulo ${\displaystyle p^{n}}$ correspond à l'anneau des nombres p-adiques

Voir aussi

Notes

Références

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

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