Martingal

Als Martingal bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen stochastischen Prozess, der über den bedingten Erwartungswert definiert wird und sich dadurch auszeichnet, dass er im Mittel fair ist. Martingale entstehen auf natürliche Weise aus der Modellierung von fairen Glücksspielen. Vereinfacht kann man sagen, ein Martingal beschreibt ein Nullsummenspiel. Martingale wurden von Paul Lévy in die Mathematik eingeführt.

Eng verwandt mit den Martingalen sind die Supermartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Verlust auftritt, und Submartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Gewinn auftritt.

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sowie eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Gegeben sei ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, für den gilt:

• Der Prozess ist ein integrierbarer Prozess, das heißt, es ist ${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
• Der Prozess ist adaptiert an ${\displaystyle \mathbb {F} }$, das heißt, ${\displaystyle X_{n}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-messbar für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Dann heißt ${\displaystyle X}$ ein Martingal (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$), wenn

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\in \mathbb {N} }$

gilt.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} (Y|{\mathcal {B}})}$ den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariablen ${\displaystyle Y}$, gegeben die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Sind ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sowie eine beliebige, geordnete Indexmenge ${\displaystyle T}$ (meist ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$) und eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ gegeben, so heißt ein integrierbarer, an ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adaptierter Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ ein Martingal (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$), wenn für alle ${\displaystyle s,t\in T}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})=X_{s}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } s\leq t}$.

Die Definition im diskreten Fall ist ein Spezialfall der Definition des zeitstetigen Falls. Denn ist ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein diskretes Martingal, so gilt, gemäß der Turmregel,

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}\vert {\mathcal {F}}_{n-1})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X_{n+1}\vert {\mathcal {F}}_{n})\vert {\mathcal {F}}_{n-1})=\operatorname {E} (X_{n}\vert {\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n-1}.}$

Induktiv folgt ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{m}\vert {\mathcal {F}}_{n})=X_{n}}$ für alle ${\displaystyle m\geq n}$.

Ein integrierbarer und an ${\displaystyle \mathbb {F} }$ adaptierter diskreter stochastischer Prozess heißt Submartingal, wenn

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\geq X_{n}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\in \mathbb {N} }$,

und Supermartingal, wenn

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\leq X_{n}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\in \mathbb {N} }$

gilt. Im stetigen Falle definiert man analog ein Submartingal über

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\geq X_{s}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } s\leq t}$.

und ein Supermartingal über

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}|{\mathcal {F}}_{s})\leq X_{s}\quad P\mathrm {-fast\ sicher\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } s\leq t}$.

Submartingale sind also im Gegensatz zu Martingalen tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.

Die Eigenschaft, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein, kommt nicht stochastischen Prozessen allein zu, sondern immer einem stochastischen Prozess in Kombination mit einer Filtrierung. Daher sollte die Filtrierung immer mit angegeben werden. Manche Autoren geben keine Filtrierung mit an, wenn sie die von dem Prozess selbst erzeugte Filtrierung verwenden, die durch ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{E}:=\sigma ({X_{s};s\leq t})}$ gegeben ist. Wenn ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ein Martingal bezüglich einer Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ ist, dann ist es auch ein Martingal bezüglich ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t}^{E})_{t\in T}}$.

Sei ${\displaystyle I}$ eine halbgeordnete Menge, ${\displaystyle (E,\|\cdot \|_{E})}$ ein Banachraum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ und ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in I}}$ ein ${\displaystyle E}$-wertiger Prozess darauf. Dann nennt man ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle \mathbb {F} }$-${\displaystyle P}$-Martingal, falls

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adaptiert ist,
• ${\displaystyle \forall t\in I}$ ist ${\displaystyle X_{t}\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P;E)}$, das heißt ${\displaystyle \mathbb {E} \|X_{t}\|_{E}<\infty }$,
• ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}|{\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}}$ ${\displaystyle P}$-fast sicher für alle ${\displaystyle s,t\in I}$ mit ${\displaystyle t\geq s}$ ist.

Falls zusätzlich gilt, dass

• ${\displaystyle \forall t\in I}$ ist ${\displaystyle X_{t}\in L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P;E)}$, das heißt ${\displaystyle \mathbb {E} \|X_{t}\|_{E}^{p}<\infty }$,

dann ist ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {F} ,P)}$-Martingal oder kurz ${\displaystyle L^{p}}$-Martingal.^[1]

Analog ist ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler Prozess ${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$ ein Martingal in einem Raum ${\displaystyle S^{d}}$, falls jede Komponente ${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$ ein ein-dimensionales Martingal in ${\displaystyle S}$ ist.

Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels auffassen. Sei dazu ${\displaystyle M_{0}}$ das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit ${\displaystyle X_{1}}$ bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt ${\displaystyle M_{1}=M_{0}+X_{1}}$ und allgemein nach dem ${\displaystyle n}$-ten Spiel

${\displaystyle M_{n}=M_{0}+\sum _{k=1}^{n}X_{k},}$

wenn ${\displaystyle X_{k}}$ den Gewinn im ${\displaystyle k}$-ten Spiel bezeichnet. Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt ${\displaystyle E(X_{k})=0}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt ${\displaystyle n}$ einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände ${\displaystyle M_{0},M_{1},\dots ,M_{n}}$ seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im ${\displaystyle n+1}$-ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital ${\displaystyle M_{n+1}=M_{n}+X_{n+1}}$ nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte als

${\displaystyle E(M_{n+1}\mid M_{0},\dots ,M_{n})=E(M_{n}\mid M_{0},\dots ,M_{n})+E(X_{n+1}\mid M_{0},\ldots ,M_{n})=M_{n}+E(X_{n+1})=M_{n}.}$

Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.

Bei realen Glücksspielen, wie beispielsweise beim Roulette, ist jedoch wegen des Bankvorteils der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also ${\displaystyle E(X_{k})<0}$. Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung

${\displaystyle E(M_{n+1}\mid M_{0},\dots ,M_{n})\leq M_{n}.}$

Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).

Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Filtration und ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle P}$-integrierbare Zufallsvariable auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Dann wird durch

${\displaystyle X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})}$

ein Martingal (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$) definiert.

Um zu zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt, rechnet man die Definition nach:

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}}$.

Somit handelt es sich um ein Martingal. Dabei ist die erste Umformung das Einsetzen der Definition, die zweite eine Anwendung der Turmregel des bedingten Erwartungswertes und die dritte wieder Einsetzen der Definition.

In einer Pólya-Urne liegen zu Beginn eine schwarze und eine weiße Kugel. In jedem Schritt wird eine Kugel zufällig aus der Urne gezogen und im Anschluss mit einer weiteren gleichfarbigen Kugel gemeinsam zurückgelegt. Wenn ${\displaystyle X_{n}}$ die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne nach ${\displaystyle n}$ Schritten bezeichnet, so ist ${\displaystyle \left({\frac {X_{n}}{n+2}}\right)_{n\geq 0}}$ ein Martingal bzgl. der kanonischen Filtrierung.

Ein Spezialfall des obigen Martingals sind Doob-Martingale: Ist eine P-integrierbare Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ gegeben und wird die Filtrierung durch eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ erzeugt, also

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (Y_{0},\dots ,Y_{n})}$,

so heißt das Martingal, welches durch

${\displaystyle X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X|Y_{0},\dots ,Y_{n})}$

definiert wird, ein Doob-Martingal (benannt nach Joseph L. Doob).

Martingale werden auch in der mathematischen Theorie der Epidemien angewendet. Das Ende einer Epidemie ist eine Stoppzeit. So können Formeln für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der finalen Größe der Epidemie abgeleitet werden.^[2][3]

• Ein Wiener-Prozess ${\displaystyle W_{t}}$ ist ein Martingal, ebenso sind für einen Wiener-Prozess ${\displaystyle W_{t}}$ die Prozesse ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$ und die geometrische brownsche Bewegung ohne Drift ${\displaystyle a\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}t\right)}$ Martingale.
• Ein Poisson-Prozess mit Rate ${\displaystyle \lambda }$, der um seinen Drift bereinigt wird, also ${\displaystyle {\hat {P}}_{\lambda ,t}=P_{\lambda ,t}-\lambda t}$, ist ein Martingal.
• Nach der Itō-Formel gilt: Jedes Itō-Integral (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich ebendieser Brown’schen Bewegung darstellen.
• Jedes stetige Martingal ist entweder von unendlicher Variation oder konstant.
• Jedes gestoppte Martingal ist wieder ein Martingal.

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ein Martingal. Es gilt, für alle ${\displaystyle s\leq t}$,

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X_{t}\vert {\mathcal {F}}_{s}))=\operatorname {E} (X_{s}).}$

Falls ${\displaystyle T}$ total geordnet ist, so ist der Erwartungswert von allen ${\displaystyle X_{t}}$ also gleich. Wenn ${\displaystyle X_{t}}$ beispielsweise das Kapital eines Glücksspielers zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ modelliert, so ist das Glücksspiel also in der Tat fair, denn der Erwartungswert des Kapitals ist gleich dem Anfangskapital.

• ${\displaystyle X}$ ist genau dann ein Submartingal, wenn ${\displaystyle -X}$ ein Supermartingal ist
• Sind ${\displaystyle X,Y}$ (Sub-)Supermartingale und ist ${\displaystyle a,b\geq 0}$, dann ist auch ${\displaystyle aX+bY}$ ein (Sub-)Supermartingal.
• Sind ${\displaystyle X,Y}$ Martingale, so ist auch ${\displaystyle aX+bY}$ ein Martingal für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.
• Sind ${\displaystyle X,Y}$ Supermartingale, dann ist auch

${\displaystyle Z=(\min(X_{t},Y_{t}))_{t\in T}}$

ein Supermartingal.

• Sind ${\displaystyle X,Y}$ Submartingale, dann ist auch

${\displaystyle Z=(\max(X_{t},Y_{t}))_{t\in T}}$

ein Submartingal.

• Ist ${\displaystyle \varphi }$ eine konvexe Funktion und ${\displaystyle X}$ ein Martingal und gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi (X_{t})^{+})<\infty }$, so ist ${\displaystyle (\varphi (X_{t}))_{t\in T}}$ ein Submartingal.

Sind zwei Filtrierungen ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}^{*}}$ gegeben und ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ kleiner als ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ in dem Sinne, dass für jedes ${\displaystyle t}$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}}_{t}^{*}}$, so ist jedes ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$-Martingal auch ein ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-Martingal.

Seien ${\displaystyle X,Y}$ zwei quadratintegrierbare Martingale mit ${\displaystyle X_{0}=Y_{0}=0}$ und seien ${\displaystyle X_{\infty },Y_{\infty }}$ ihre terminalen Werte, dann heißen sie

• schwach orthogonal wenn ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\infty }Y_{\infty }]=0}$,
• stark orthogonal wenn ${\displaystyle XY}$ ein gleichmäßig-integrierbares Martingal ist oder äquivalent wenn ${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{t}=0}$.^[4]

Ist die quadratische Variation ${\displaystyle \langle M\rangle }$ eines stetigen beschränkten Martingals ${\displaystyle M_{t}}$ (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess

${\displaystyle X_{t}=M_{t}^{2}-\langle M\rangle _{t}}$

ebenfalls ein Martingal.

Ebenso ist das sogenannte Exponentialmartingal von ${\displaystyle M_{t}}$, gegeben durch

${\displaystyle X_{t}=e^{\left(M_{t}-{\frac {1}{2}}\langle M\rangle _{t}\right)},}$

ein Martingal. Dies folgt aus dem Kazamaki-Kriterium.

Die wichtigsten Ungleichungen im Bezug auf Martingale sind die Doobsche Maximalungleichung und die Aufkreuzungsungleichung. Die Doobsche Maximalungleichung liefert eine Abschätzung dafür, welcher Maximalwert eines Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht überschritten wird. Die Aufkreuzungsungleichung liefert eine Aussage darüber, wie oft ein Submartingal ein vorgegebenes Intervall von unten nach oben durchquert.

Das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem kombinieren Stoppzeiten mit Martingalen und beschäftigen sich mit den Eigenschaften und Erwartungswerten der gestoppten Prozesse. Mit diesen Ergebnissen kann man zeigen, dass keine Abbruchstrategie für ein faires Spiel existiert, die für den Spieler vorteilhaft ist.

Ein Martingal und ein vorhersagbarer, lokal beschränkter Prozess lassen sich mittels des diskreten stochastischen Integrals zu einem neuen Martingal kombinieren. Man nennt diesen Prozess dann die Martingaltransformierte des ursprünglichen Martingals. Die Martingaltransformierte ist wieder ein Martingal. Dies hat weitreichende Folgen für die Existenz von Spielstrategien in fairen Spielen, die dem Spieler im Mittel Gewinn bringen. Modelliert das Martingal das faire Spiel und der vorhersagbare, lokal beschränkte Prozess die Spielstrategie, so folgert aus der Martingaltransformation, dass es keine Spielstrategie gibt, die dem Spieler im Allgemeinen einen Vorteil bringt.

Die Doob-Zerlegung erlaubt für jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess eine Zerlegung in ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess.

Der Martingalkonvergenzsatz liefert für Zufallsvariablen, die ein Martingal bilden, Kriterien unter denen sie fast sicher oder im p-ten Mittel konvergieren.

Lokale Martingale sind Prozesse, für die eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten existiert, so dass für jede Stoppzeit der gestoppte Prozess ein Martingal ist.

Semimartingale sind eine Klasse von adaptierten Prozessen mit Càdlàg-Pfaden (Die Pfade sind rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren), die sich in ein lokales Martingal, ein Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen lassen.

Rückwärtsmartingale sind Martingale, bei denen die Indexmenge umgekehrt wird. Sie laufen quasi „falschherum“ bzw. von hinten nach vorne.

Die Martingale ist eine seit dem 18. Jahrhundert bekannte Strategie im Glücksspiel, bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht (im einfachsten Fall verdoppelt) wird, so dass im hypothetischen Fall unerschöpflichen Vermögens, unerschöpflicher Zeit und der Nichtexistenz eines Höchsteinsatzes sicherer Gewinn einträte.^[5] Was den Ursprung des Wortes (und nicht des Konzepts) betrifft, so findet sich das erste Zitat in der Dissertation Étude critique de la notion de collectif von Jean André Ville. Dort tritt das Wort in Kapitel IV, dritter Absatz, im Ausdruck système de jeu ou martingale („Spielsystem oder Martingal“) auf; jedoch gibt er ab dem folgenden Kapitel den Ausdruck „Spielsystem“ vollständig auf und behält nur „Martingal“. Er macht an anderer Stelle deutlich, dass dieser Name direkt aus dem Wortschatz der Spieler entlehnt ist. Tatsächlich war es zu dieser Zeit nicht ungewöhnlich, dass Spieler, die behaupteten, eine sichere Gewinnstrategie zu haben, mit Probabilisten sprachen. Ville selbst traf einen gewissen Parcot, der die Roulette-Ergebnisse analysierte, um seine angeblich sichere Gewinnstrategie oder sein Martingal zu erhalten. Das Wort war daher den Probabilisten vertraut und wurde auf das mathematische Konzept übertragen, dessen erste Beispiele aus Spielen stammten.^[6][7]

Da die Martingale das bekannteste Spielsystem war und ist, wurde der Begriff auch als Synonym für „Spielsystem“ gebraucht und fand so Eingang in die mathematische Literatur.^[8]

Das Wort „Martingale“ selbst stammt aus dem Provenzalischen und leitet sich von der französischen Stadt Martigues im Département Bouches-du-Rhône am Rande der Camargue ab, deren Einwohner früher als etwas naiv galten. Der provenzalische Ausdruck jouga a la martegalo bedeutet so viel wie sehr waghalsig zu spielen.

Der „Martingal“ genannte Hilfszügel soll ebenfalls nach der Stadt Martigues benannt sein, hierbei handelt es sich um einen optionalen Teil der Pferdeausrüstung, der das Pferd daran hindern soll, den Kopf nach oben zu reißen und zu steigen. Dass dieser Hilfszügel ebenfalls Martingal genannt wird, war den Pionieren der Martingaltheorie nicht bekannt^[8] und hat mit der mathematischen Begriffsbildung nichts zu tun.

• A.N. Shiryaev: Martingale. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Martingale. In: MathWorld (englisch).

Historische Literatur

• Paul Lévy: Calcul de probabilités. Gauthier-Villars, Paris 1925.
• J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, New York 1953.

Einführungen

• David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, Cambridge 1991, ISBN 0-521-40605-6.
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage, de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4.

Diskrete Martingale

• Harald Luschgy: Martingale in diskreter Zeit – Theorie und Anwendungen. Springer Spektrum, New York 2013, ISBN 978-3-642-29960-5, doi:10.1007/978-3-642-29961-2. 
• J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales. North-Holland, Amsterdam 1975.
• Y. S. Chow und H. Teicher: Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, New York 1997.

Stetige Martingale

• C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel I-IV, Hermann Paris, 1975–1987. (Englische Übersetzung bei North Holland.)

Anwendungen

• R. Bouss: Optimierung des Kreditgeschäftes mit Martingalen. Haupt, Bern 2003.

1. ↑ Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces, Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer Cham. 2016, doi:10.1007/978-3-319-48520-1 (auf allgemeinen Banachräumen). 
2. ↑ Philippe Picard: Application of Martingale theory to some epidemic models. In: J. of Applied Probability. Band 17, 1980, S. 583–599.
3. ↑ Claude Lefèvre, Philippe Picard: On the formulation of discrete-time epidemic models. In: Mathematical Biosciences. Band 95, 1989, S. 27–35.
4. ↑ Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4, S. 179. 
5. ↑ H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, Berlin 1991, S. 144.
6. ↑ The Origins of the Word “Martingale”. Roger MANSUY, abgerufen am 2. Januar 2023 (englisch). 
7. ↑ Andrew Shepard: Testen und Analysieren des Grand Martingale Systems. In: roulette77.de. 25. November 2022, abgerufen am 2. Januar 2023. 
8. ↑ ^{a b} The Origins of the Word "Martingale" auf jehps.net, S. 1 f.