Jury穩定性準則

Jury穩定性準則（Jury stability criterion）是在信号处理及控制理论中，判斷線性離散系統穩定性的方式，是利用分析特徵多項式來進行分析。Jury穩定性準則是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的離散時間版本。Jury稳定性判据要求系統的極點都要位在以原點為圓心的單位圓內，劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系統的極點在複數平面的左半邊。Jury穩定性準則得名自伊拉克裔美籍工程師殷巴爾·易卜拉欣·朱瑞（英语：Eliahu Ibraham Jury）。

方法

系統的特徵多項式如下

f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}

用以下的方式來建構表格^[1]：

row	zⁿ	z^n-1	z^n-2	z^....	z¹	z⁰
1	a₀	a₁	a₂	...	a_n-1	a_n
2	a_n	a_n-1	a_n-2	...	a₁	a₀
3	b₀	b₁	...	b_n-2	b_n-1
4	b_n-1	b_n-2	...	b₁	b₀
5	c₀	c₁	...	c_n-2
6	c_n-2	c_n-3	...	c₀
...	...	...	...	...	...	...
2n-5	p₃	p₂	p₁	p0
2n-4	p₀	p₁	p₂	p3
2n-3	q₂	q₁	q₀

因此，第一行是多項式的係數，從常數項次而高次項次排列，第二行則是第一行的反序。

第三行是將第一行減去第二行乘以 ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ ，而第四行是第三行的反序（並且維持最後一個元素為零）。

{\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}

表格繼續往下延伸，直到有一行只有一個非零元素為止。

針對頭兩行相減的係數是 ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ ，針對第三行及第四行相減的係數就變成 ${\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}$ ，因此所得的多項式會少一項。

穩定性測試

若 ${a_{0}}>0$ ，而 ${a_{0}}$ , ${b_{0}}$ , ${c_{0}}$ ...都是正值，表示系統的根都在單位圓內，系統穩定。只要上述有任何一個小於零，表示系統至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。

若Jury穩定性準則發現 ${a_{0}}$ , ${b_{0}}$ , ${c_{0}}$ ...中有一個為負值，即可結束測試，因為至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。

程式實現

此方式用電腦的動態陣列很容易實現。也可以確認系統所有的根（實根或是複數根）都在單位圓內。向量v是原多項式的係數，從最高項次到常數項。

        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for(i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if(v.size()==1) break;
         }

         // Check is done using
         for(i=0;i<vvd.size();i+=2)
         {
              if(vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if(i==vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"

範例

若已知 ${\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )$ 的分母多項式為 $\mathrm {A} (\mathrm {z} )={\color {Blue}4z^{4}}-{\color {Brown}4z^{3}}+{\color {Brown}2z^{1}}-1$ ，判斷該系統是否穩定。
解答:因為 $\mathrm {A} (1)=4-4+2-1=1>0$
$(-1)^{4}\mathrm {A} (-1)=4+4-2-1=5>0$
將 $\mathrm {A} (z)$ 的係數排列成朱利表(如下):

row	z⁴	z³	z²	z¹	z⁰
1	₄	_-4	₀	₂	_-1
2	_-1	₂	₀	_-4	₄
3	₁₅	_-14	₀	₄
4	₄	₀	_-14	₁₅
5	₂₀₉	_-210	₅₆

且 $4>\left|-1\right|$
$15>\left|4\right|$
$209>\left|56\right|$
即滿足Jury穩定條件，因此 ${\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )$ 所有極點位於 $\left|z\right|<1$ 內，故系統是穩定的。

參考資料

^ Discrete-time control systems (2nd ed.), pg. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA ©1995 ISBN 0-13-034281-5

若需要更多細節，可以參考以下連結：

A note on the reduced Schur–Cohn criterionArchive.is的存檔，存档日期2013-06-28
Wikibooks on Control Systems - Jury's Test （页面存档备份，存于互联网档案馆）

進階參考資料：

存档副本 (PDF). [2019-03-10]. （原始内容 (PDF)存档于2008-08-02）.
Benidir, M. On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle. Signal Processing. 1996, 53: 75. doi:10.1016/0165-1684(96)00077-1.
http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz （页面存档备份，存于互联网档案馆）