I-đê-an nguyên tố

Giản đồ Hasse mô tả các i-đê-an nguyên tố của vành Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .} Các đỉnh màu tím là các i-đê-an nguyên tố.

Trong đại số, i-đê-an nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

I-đê-an nguyên tố trong các vành giao hoán

Một i-đê-an I {\displaystyle I} của một vành giao hoán R {\displaystyle R} được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:[1][2]

  • Nếu a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} là hai phần tử của R {\displaystyle R} sao cho tích a b {\displaystyle ab} là phần tử của I {\displaystyle I} , thì a {\displaystyle a} là phẩn tử của I {\displaystyle I} hoặc b {\displaystyle b} là phần tử của I {\displaystyle I} .
  • I {\displaystyle I} không phải là toàn bộ vành R {\displaystyle R}

Ví dụ

  • Với R = Z , {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,} tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } .
  • Trong một vành R {\displaystyle R} , một i-đê-an tối đại là một i-đê-an M {\displaystyle M} tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của R {\displaystyle R} , tức là M {\displaystyle M} được chứa trong chính xác hai i-đê-an của R {\displaystyle R} : M {\displaystyle M} và R {\displaystyle R} . Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.[2]
  • Nếu X {\displaystyle X} là một đa tạp trơn, R = C ∞ ( X ) {\displaystyle R={\mathcal {C}}^{\infty }(X)} là vành các hàm thực trơn trên X {\displaystyle X} và x {\displaystyle x} là một điểm của X {\displaystyle X} thì tập hợp tất cả các hàm trơn f {\displaystyle f} với f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của R {\displaystyle R} .

Tính chất

  • Một i-đê-an I {\displaystyle I} của một vành R {\displaystyle R} (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương R / I {\displaystyle R/I} là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi ( 0 ) {\displaystyle (0)} là một i-đê-an nguyên tố.[1]
  • Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành C [ x , y ] {\displaystyle \mathbb {C} [x,y]} có các i-đê-an nguyên tố P = ( x 2 + y 2 − 1 ) {\displaystyle P=(x^{2}+y^{2}-1)} và Q = ( x ) {\displaystyle Q=(x)} . Tổng của chúng là P + Q = ( x 2 + y 2 − 1 , x ) = ( x , y 2 − 1 ) {\displaystyle P+Q=(x^{2}+y^{2}-1,x)=(x,y^{2}-1)} không phải là nguyên tốt: y 2 − 1 = ( y − 1 ) ( y + 1 ) ∈ P + Q {\displaystyle y^{2}-1=(y-1)(y+1)\in P+Q} nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong P + Q {\displaystyle P+Q} .

I-đê-an nguyên tố trong các vành không giao hoán

Các i-đê-an hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau:[3][4]: một i-đê-an (hai phía) I {\displaystyle I} của một vành R {\displaystyle R} (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một i-đê-an nguyên tố nếu I ≠ R {\displaystyle I\neq R} và với mọi i-đê-an (hai phía) A , B ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subset R} , ta có: A ⋅ B ⊂ I ⟹ A ⊂ I  hoặc  B ⊂ I {\displaystyle {\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\subset I\implies {\mathfrak {A}}\subset I{\text{ hoặc }}{\mathfrak {B}}\subset I} .

Tham khảo

  1. ^ a b Kaplansky (1970), tr. 1
  2. ^ a b Lang (2002), tr. 92
  3. ^ Lam (2001), tr. 165
  4. ^ Lưu ý rằng Lam sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "two-sided ideal". Xem Lam (2001), tr. 3 (trong khi một số tác giả sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "left ideal").

Thư mục

  • Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
  • Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
  • Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
  • Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài