Elementer matris

Doğrusal cebirde, bir birim matrisde yalnızca bir tane elementer satır işlem yapılarak elde edilen matrislere elementer matris denir. m boyutunda bir birim matrisin üzerinde e elementer satır işlemi yapılarak elde edilen elementer matris e ( I m ) {\displaystyle e(I_{m})} şeklinde gösterilir.

Elementer Satır İşlemleri

Üç çeşit elementer satır işlemi vardır:

Yer değiştirme
Matrisin iki satırdaki tüm elemanların yerlerini değiştirilmesi.
R i ↔ R j {\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}
Çarpma
Matrisdeki bir satırın her elemanın, sıfır dışında bir katsayı ile çarpılması.
k R i → R i ,   k ≠ 0  iken {\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}
Toplama
Matrisdeki satırlardan birinin, bir katının diğer bir satıra eklenmesi.
R i + k R j → R i , i ≠ j  iken {\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}

Elementer Matrislerin Tersi

Her elementer matris tersinirdir ve

( e ( I m ) ) − 1 = e − 1 ( I m ) {\displaystyle (e(I_{m}))^{-1}=e^{-1}(I_{m})}

yani e ( I m ) {\displaystyle e(I_{m})} elementer matrisinin tersini almak yerine, I m {\displaystyle I_{m}} birim matrisi üzerinde e {\displaystyle e} elementer işlemini tersi uygulanabilir. Elementer işlemlerin tersi şöyle tanımlanmıştır:

Yer değiştirmenin tersi
e : R i ↔ R j {\displaystyle e:R_{i}\leftrightarrow R_{j}} ise
e − 1 : R j ↔ R i {\displaystyle e^{-1}:R_{j}\leftrightarrow R_{i}}
Yani yer değiştirme işleminin tersi kendisine eşittir çünkü R i {\displaystyle R_{i}} ve R j {\displaystyle R_{j}} satırlarının yerini değiştirmek ile R j {\displaystyle R_{j}} ve R i {\displaystyle R_{i}} satırlarının yerini değiştirmek aynı şeye denk gelmektedir. Bundan dolayı da yer değiştirme işlemi uygulanarak elde edilen elementer matrislerin tersi kendilerine eşittir.
Çarpmanın tersi
e : k R i → R i ,   k ≠ 0  iken {\displaystyle e:kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}} ise
e − 1 : 1 k R i → R i ,   k ≠ 0  iken {\displaystyle e^{-1}:{\frac {1}{k}}R_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}
Toplamanın tersi
e : R i + k R j → R i , i ≠ j  iken {\displaystyle e:R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}} ise
e − 1 : R i + ( − k ) R j → R i , i ≠ j  iken {\displaystyle e^{-1}:R_{i}+(-k)R_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}

Kaynakça

  • Arif Sabuncuoğlu lineer cebir ders notları, Mat201, TOBB ETU