Sannolikhetsfunktion

En sannolikhetsfunktion eller frekvensfunktion.^[1] är en funktion som ger sannolikheten att en diskret stokastisk variabel antar ett visst värde. Mer precist, om X: S → R är en diskret stokastisk variabel så definieras sannolikhetsfunktionen till X som funktionen p_X: R → [0,1] sådan att

${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)=P(\{s\in S:X(s)=x\}).}$

I ord så är värdet av f_X i punkten x lika med sannolikheten att X antar värdet x. Motsvarigheten för kontinuerliga stokastiska variabler kallas täthetsfunktion.

Exempel

Om man låter en stokastisk variabel X bero på utfallet av ett myntkast, så består utfallsrummet S av utfallen krona eller klave. Låt X anta värdet 1 om krona fås, 0 om klave fås och anta att sannolikheten är lika stor att få krona som att få klave. Sannolikhetsfunktionen ges av:

${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&x\in \{0,1\}\\0&{\textrm {annars}}\end{cases}}}$

Egenskaper

Låt X vara en diskret stokastisk variabel. Då gäller för sannolikhetsfunktionen p_X:

${\displaystyle \sum _{-\infty <x<\infty }p_{X}(x)=1}$

${\displaystyle P(A\leq X\leq B)=\sum _{A\leq x\leq B}p_{X}(x)}$

Om F_X är X:s fördelningsfunktion fås sannolikhetsfunktionen p_X ur:

${\displaystyle p_{X}(k)={\begin{cases}F_{X}(0)&k=0\\F_{X}(k)-F_{X}(k-1)&{\textrm {annars}}\end{cases}}}$

Man kan beräkna en betingad sannolikhetsfunktion, givet att någon händelse B inträffat. Detta betecknas och kan räknas ut som:

${\displaystyle p_{X|B}={\begin{cases}{\frac {P_{X}(x)}{P(B)}}&x\in B\\0&{\textrm {annars}}\end{cases}}}$

Referenser

Noter

Källor

• Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar. Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4 
• Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4