Rot av tal

En n:te rot till ett tal a är ett tal x sådant att xⁿ = a. Rottecknet är en operator på talet a.

• Fallet n = 2 kallas kvadratrot, det som ofta avses med "roten ur" ett tal
• Fallet n = 3 kallas kubikrot

Den n:te roten till ett tal betecknas:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$

Talet ${\displaystyle n}$ benämns grad eller rotindex och ${\displaystyle a}$ benämns radikand.

Beräkning

Rötter kan beräknas med hjälp av logaritmer då

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=e^{\frac {\ln x}{n}}}$

Algoritm

För att beräkna ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ kan följande algoritm användas:

1. Gör en första gissning ${\displaystyle x_{0}}$ (ju närmare ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ desto snabbare konvergerar algoritmen).
2. ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$
3. Upprepa steg 2 tills önskad precision är uppnådd

Härledning

Algoritmen kan härledas från Newton-Raphsons metod.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}=x\Leftrightarrow x^{n}-A=0}$

Vi söker alltså nollstället till

${\displaystyle f(x)=x^{n}-A\ }$

Iterationsformeln blir

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {n\cdot x_{k}^{n}-(x_{k}^{n}-A)}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$

Ett specialfall är då n = 2 vilket är mer känt som den babyloniska metoden.

Se även

• Kvadratrot
• Kubikrot
• Rottecken
• Irrationella tal
• Algebraiska tal
• Geometriskt medelvärde
• Tolfte roten ur 2

Källor

• Matematisk uppslagsbok, William Karush, W&W, 1962