Autokorrelation

Autokorrelationen för en stokastisk process beskriver korrelationen mellan processens olika tidpunkter.

Definition

För en tidskontinuerlig stokastisk process ${\displaystyle X}$ definieras autokorrelationsfunktionen ${\displaystyle r_{X}}$ som:

${\displaystyle r_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]\,}$

För en tidsdiskret stokastisk process ${\displaystyle X}$ definieras autokorrelationsfunktionen ${\displaystyle r_{X}}$ som:

${\displaystyle r_{X}(n_{1},n_{2})=E[X(n_{1})X(n_{2})]\,}$

Om den stokastiska processen ${\displaystyle X}$ är svagt stationär beror autokorrelationen endast på skillnaden mellan ${\displaystyle t_{1}}$ och ${\displaystyle t_{2}}$ eller ${\displaystyle n_{1}}$ och ${\displaystyle n_{2}}$, och då skrivs autokorrelationsfunktionen som:

${\displaystyle r_{X}(\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]}$ respektive ${\displaystyle r_{X}(k)=E[X(n)X(n+k)]}$

Om autokorrelationen är noll för alla ${\displaystyle \tau \neq 0}$ eller ${\displaystyle k\neq 0}$ kallas ${\displaystyle X}$ för en vit process. Fourier-transformen av autokorrelationsfunktionen kallas för effektspektrum.

Estimering

Givet en serie mätdata ${\displaystyle x_{n},\ n\in [0,N-1]}$ genererad av en svagt stationär stokastisk process ${\displaystyle X}$ kan autokorrelationen estimeras på två sätt:

1. icke väntevärdesriktigt: ${\displaystyle {\hat {r}}_{X}(k)={\begin{cases}{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-k}x(n)x(n+k)&k\geq 0\\{\hat {r}}_{X}(-k)&k<0\end{cases}}}$
2. väntevärdesriktigt: ${\displaystyle {\hat {r}}_{X}(k)={\begin{cases}{\frac {1}{N-k}}\sum _{n=0}^{N-k}x(n)x(n+k)&k\geq 0\\{\hat {r}}_{X}(-k)&k<0\end{cases}}}$

I många sammanhang, till exempel för lösning av Yule–Walker-ekvationerna, föredras den icke väntevärdesriktiga varianten. Den väntevärdesriktiga kan då ${\displaystyle k}$ närmar sig ${\displaystyle N}$ anta orimligt stora värden.