Konjuktivna normalna forma

U bulovskoj logici, formula je u konjunktivnoj normalnoj formi (KNF) ako predstavlja konjunkciju klauza, gde je klauza disjunkcija literala. Kao normalna forma, korisna je u automatskom dokazivanju teorema.

Sve konjunkcije literala i sve disjunkcije literala su u KNF, jer se mogu posmatrati kao konjunkcije jednočlanih literala, ili kao disjunkcije jedne klauze, redom. Kao i kod disjunktivne normalne forme (DNF), jedini iskazni veznici koje formula u KNF može da sadrži su I, ILI, i NE. Operator negacije može da se koristi samo kao deo literala, što znači da može da stoji samo pre iskazne promenljive.

Primeri i kontraprimeri

Sledeće formule su u KNF:

${\displaystyle \neg A\wedge (B\vee C)}$

${\displaystyle (A\vee B)\wedge (\neg B\vee C\vee \neg D)\wedge (D\vee \neg E)}$

${\displaystyle (\neg B\vee C)}$

${\displaystyle A\wedge B.}$

Poslednja formula je u KNF, jer se može posmatrati kao konjunkcija dve jednočlane klauze ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$. Međutim, ova formula je i u disjunktivnoj normalnoj formi. Sledeće formule nisu u KNF:

${\displaystyle \neg (B\vee C)}$

${\displaystyle (A\wedge B)\vee C}$

${\displaystyle A\wedge (B\vee (D\wedge E)).}$

Gornje tri formule su redom ekvivalentne sledećim trima formulama koje jesu u konjunktivnoj normalnoj formi:

${\displaystyle \neg B\wedge \neg C}$

${\displaystyle (A\vee C)\wedge (B\vee C)}$

${\displaystyle A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).}$

Konverzija u KNF

Svaka iskazna formula se može transformisati u logički ekvivalentnu formulu, koja je u KNF. Ova transformacija koristi pravila logičke ekvivalencije: eliminaciju dvostruke negacije, De Morganove zakone, i zakon distributivnosti.

Kako se sve logičke formule mogu transformisati u ekvivalentne formule u KNF, dokazi se obično baziraju na pretpostavci da su sve formule u KNF. Međutim, u nekim slučajevima, ova konverzija u KNF može da dovede do eksponencijalne eksplozije (rasta dužine) formule. Na primer, transformisanje sledeće formule u KNF proizvodi formulu sa ${\displaystyle 2^{n}}$ klauza:

${\displaystyle (X_{1}\wedge Y_{1})\vee (X_{2}\wedge Y_{2})\vee \dots \vee (X_{n}\wedge Y_{n}).}$

Dobija se formula:

${\displaystyle (X_{1}\vee \cdots \vee X_{n-1}\vee X_{n})\wedge (X_{1}\vee \cdots \vee X_{n-1}\vee Y_{n})\wedge \cdots \wedge (Y_{1}\vee \cdots \vee Y_{n-1}\vee Y_{n})}$

to jest, ova formula sadrži ${\displaystyle 2^{n}}$ klauza: u svakoj klauzi se nalazi bilo ${\displaystyle X_{i}}$ ili ${\displaystyle Y_{i}}$ za svako ${\displaystyle i}$.

Postoje transformacije formula u KNF koje čuvaju zadovoljivost ali ne i ekvivalenciju, ali i ne proizvode eksponencijalni rast formula. Za ove transformacije se garantuje da formule povećavaju samo linearno, ali uvode nove promenljive. Na primer, gornja gormula se može transformisati u KNF dodavanjem promenljivih ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{n}}$ na sledeći način:

${\displaystyle (Z_{1}\vee \cdots \vee Z_{n})\wedge (\neg Z_{1}\vee X_{1})\wedge (\neg Z_{1}\vee Y_{1})\wedge \cdots \wedge (\neg Z_{n}\vee X_{n})\wedge (\neg Z_{n}\vee Y_{n})}$

Neka interpretacija zadovoljava ovu formulu samo ako barem jedna od novih promenljivih ima vrednost tačno. Ako je to promenljiva ${\displaystyle Z_{i}}$, onda takođe ${\displaystyle X_{i}}$ i ${\displaystyle Y_{i}}$ imaju vrednost tačno. Ovo znači da svaki model koji zadovoljava dobijenu formulu zadovoljava i početnu. Sa druge strane, samo neki modeli originalne formule zadovoljavaju ovu novu, jer se ${\displaystyle Z_{i}}$ ne spominje u početnoj formuli, pa njihove vrednosti nisu od značaja za nju, dok jesu za novu formulu. Ovo znači da su početna formula i rezultat transformacije ekvizadovoljivi, ali ne i ekvivalentni.

Logika prvog reda

U logici prvog reda, konjunktivna normalna forma se može transformisati dalje u klauzalnu normalnu formu, koja je od koristi za metod rezolucije.

Računska složenost

Važan skup problema u računskoj složenosti podrazumeva nalaženje takvih dodela promenljivima bulovske formule u konjunktivnoj normalnoj formi, da formula ima vrednost tačno. k-SAT problem je problem nalaženja zadovoljavajuće dodele bulovskoj formuli iskazanoj u KNF, tako da svaka disjunkcija sadrži najviše k promenljivih. 3-SAT je NP-kompletan problem (kao i svaki drugi k-SAT, gde je k>2) osim 2-SAT, za koga je poznato rešenje u polinomijalnom vremenu.

Transformisanje iz logike prvog reda

Transformisanje formule predikatskog računa u KNF podrazumeva sledeće korake:

1. Transformisanje u negacijsku normalnu formu. Eliminišu se implikacije: ${\displaystyle x\rightarrow y}$ se zameni sa ${\displaystyle \neg x\vee y}$
2. Negacije se uvuku unutar zagrada
3. Standardizuju se promenljive
4. Skolemizuje se iskaz
5. Eliminišu se univerzalni kvantifikatori
6. Primeni se distributivnost na disjunkcije i konjunkcije.^[1]

Izvori

Vidi još

• Disjunktivna normalna forma
• Algebarska normalna forma
• Preneks normalna forma
• Hornova klauza

Spoljašnje veze

• Scheme i Ocaml programi za konvertovanje iskaznih formula u KNF Arhivirano 2007-03-12 na Wayback Machine-u