Mulțime densă

In matematică, în special în topologie, o submulțime A a unui spațiu topologic X se numește densă (în X) dacă pentru orice punct x din X orice vecinătate a lui x conține cel puțin un punct din A.

Altfel spus, A este densă în X dacă unica mulțime închisă din X care conține pe A este însăși X. Echivalent, închiderea lui A coincide cu X sau că interiorul complementarei lui A este mulțimea vidă.

Densitatea în spațiile metrice

În cadrul spațiilor metrice definiția densității poate fi formulată astfel: mulțimea A din spațiul metric X este densă dacă orice punct ${\displaystyle x}$ din X este limita unui șir de puncte din A. Adică, A este densă în X atunci când

${\displaystyle {\bar {A}}=X,}$

unde ${\displaystyle {\bar {A}}}$ înseamnă închiderea lui A. Dacă ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ este un șir de mulțimi deschise într-un spațiu metric complet X, atunci la fel și ${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ este densă în X.

Exemple

• Orice spațiu topologic este dens.
• În mulțimea numerelor reale înzestrată cu topologia uzuală, mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor iraționale sunt dense.
• Orice spațiu metric ${\displaystyle X}$ este dens în propria sa completare ${\displaystyle X^{*}}$.

Vezi și

• Mulțime