Grup poliedric

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.
Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă
Cs, (*)
[ ] =
Simetrie ciclică
Cnv, (*nn)
[n] =
Simetrie diedrală
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)

Simetrie tetraedrică
Td, (*332)
[3,3] =
Simetrie octaedrică
Oh, (*432)
[4,3] =
Simetrie icosaedrică
Ih, (*532)
[5,3] =

În geometrie un grup poliedric este oricare din grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice.

Grupuri

Există trei grupuri poliedrice:

  • Grupul tetraedric de ordinul 12, grupul de simetrie rotațională al tetraedrului regulat. Este izomorf cu A4.
  • Clasele de conjugare⁠(d) ale T sunt:
  • identitatea
  • 4 × rotație cu 120° în sens trigonometric, ordin 3
  • 4 × rotație cu 120° în sens orar, ordin 3
  • 3 × rotație cu 180°, ordin 2
  • Grupul octaedric de ordinul 24, grupul de simetrie rotațională al cubului și octaedrului regulat. Este izomorf cu S4.
  • Clasele de conjugare ale O sunt:
  • identitatea
  • 6 × rotație cu ±90° în jurul vârfurilor, ordin 4
  • 8 × rotație cu ±120° în jurul centrelor triunghiurilor, ordin 3
  • 3 × rotație cu 180° în jurul vârfurilor, ordin 2
  • 6 × rotație cu 180° în jurul mijloacelor laturilor, ordin 2
  • Grupul icosaedric de ordinul 60, grupul de simetrie rotațională al dodecaedrului regulat și al icosaedrului regulat. Este izomorf cu A5.
  • Clasele de conjugare ale I sunt:
  • identitatea
  • 12 × rotație cu ±72°, ordin 5
  • 12 × rotație cu ±144°, ordin 5
  • 20 × rotație cu ±120°, ordin 3
  • 15 × rotație cu 180°, ordin 2

Aceste simetrii se dublează la 24, 48, respectiv 120 pentru grupurile de reflexie complete. Simetriile de reflexie au 6, 9 și respectiv 15 plane de oglindire. Simetria octaedrică, [4,3] poate fi văzută ca reunirea a 6 plane de oglindire de simetrie tetraedrică [3,3] și a 3 plane de oglindire de simetrie diedrală Dih2, [2,2 ]. Simetria piritoedrică este o altă dublare a simetriei tetraedrice.

Clasele de conjugare ale simetriei tetraedrice complete, Td≅S4, sunt:

  • identitatea
  • 8 × rotație cu 120°
  • 3 × rotație cu 180°
  • 6 × reflexie în plan față de două axe
  • 6 × rotație improprie cu 90°

Clasele de conjugare ale simetriei piritoedrice, Th, le cuprind pe cele ale lui T, cu cele două clase de 4 combinate și fiecare cu inversare:

  • identitatea
  • 8 × rotație cu 120°
  • 3 × rotație cu 180°
  • inversiunea
  • 8 × rotație improprie cu 60°
  • 3 × reflexie în plan

Clasele de conjugare ale grupului octaedric complet, Oh≅S4 × C2, sunt:

  • inversiunea
  • 6 × rotație improprie cu 90°
  • 8 × rotație improprie cu 60°
  • 3 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 4 poziții
  • 6 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 2 poziții

Clasele de conjugare ale grupului icosaedric complet, Ih≅A5 × C2, sunt:

  • inversiunea
  • 12 × rotație improprie cu 108°, ordin 10
  • 12 × rotație improprie cu 36°, ordin 10
  • 20 × rotație improprie cu 60°, ordin 6
  • 15 × reflexie, ordin 2

Grupuri poliedrice chirale

Grupuri poliedrice chirale
Nume
(Orb.) 		Notația
Coxeter 		Ordin Structură
abstractă 		Puncte de
rotație
#valență 		Diagrame
Ortogonal Stereografic
T
(332)
[3,3]+		 12 A4 43
32
Th
(3*2)

[4,3+]		 24 A4×2 43
3*2
O
(432)
[4,3]+		 24 S4 34
43
62
I
(532)
[5,3]+		 60 A5 65
103
152

Grupuri poliedrice complete

Grupuri poliedrice complete
Weyl
Schoe.
(Orb.) 		Notația
Coxeter 		Ordin Structură
abstractă 		Număr
Coxeter
(h) 		Oglinzi
(m) 		Diagrame ale oglindirilor
Ortogonal Stereografic
A3
Td
(*332)

[3,3]		 24 S4 4 6
B3
Oh
(*432)

[4,3]		 48 S4×2 8 3
6
H3
Ih
(*532)

[5,3]		 120 A5×2 10 15

Bibliografie

  • Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)

Legături externe

Portal icon Portal Matematică