Extindere normală

În algebra abstractă o extindere normală este o extindere de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L.^[1][2] Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extinderile algebrice să fie o extinderi Galois^⁠(d). Bourbaki numește o astfel de extindere o cvasiextindere Galois.

Definiție

Fie ${\displaystyle L/K}$ o extindere algebrică (adică L este o extindere algebrică pe K), astfel încât ${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$ (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extinderii normale, sunt echivalente:^[3]

• Orice încorporare a L în ${\displaystyle {\overline {K}}}$ induce un automorfism pe L.
• L este corpul de descompunere^⁠(d) al familiei de polinoame din ${\displaystyle K\left[X\right]}$.
• Orice polinom ireductibil din ${\displaystyle K\left[X\right]}$ care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.

Alte proprietăți

Fie L o extindere pe corpul K. Atunci:

• Dacă L este o extindere normală pe K și dacă E este o extindere intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extindere normală pe E.^[4]
• Dacă E și F sunt extinderii normale pe K cuprinse în L, atunci produsele tensoriale de corpuri^⁠(d) EF și E ∩ F sunt și ele extinderi normale pe K.^[4]

Condiții echivalente pentru normalitate

Fie ${\displaystyle L/K}$ algebrică. Corpul L este o extindere normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.

• Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
• Există o mulțime ${\displaystyle S\subseteq K[x]}$ a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât ${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$ sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
• Toate omomorfismele ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$ au aceeași imagine;
• Grupul de automorfisme ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$ al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme ${\displaystyle L\to {\bar {K}}.}$

Exemple și contraexemple

De exemplu, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ este o extindere normală pe ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ deoarece este corpul de descompunere al ${\displaystyle x^{2}-2.}$ Pe de altă arte, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ nu este o extindere normală pe ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ deoarece polinomul ireductibil ${\displaystyle x^{3}-2}$ are o rădăcină în el, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ al numerelor algebrice este închiderea algebrică a ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ adică ea conține ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ Deoarece $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ și, dacă ${\displaystyle \omega }$ este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}$$ este o încorporare a ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ în ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ a cărei restricție la ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ este identitatea. Totuși, ${\displaystyle \sigma }$ nu este un automorfism al ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Pentru orice număr prim ${\displaystyle p,}$ extinderea ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ are in mod normal gradul ${\displaystyle p(p-1).}$ Este corpul de descompunere al ${\displaystyle x^{p}-2.}$ Aici ${\displaystyle \zeta _{p}}$ semnifică a ${\displaystyle p}$-a rădăcină primitivă a unității. Corpul ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ este închiderea normală a ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Închidere normală

Dacă K este un corp iar L este o extindere algebrică pe K, atunci există o extindere algebrică M pe L astfel încât M este o extindere normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extindere care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extindere normală pe K este M însuși. Această extindere este numită închiderea normală a extinderii L pe K.

Dacă L este o extindere finită pe K, atunci extinderea sa normală este și ea o extindere finită.

Note

Bibliografie

• en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• en Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (ed. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787 

Portal Matematică