O quadripotencial eletromagnético é um quadrivetor definido em unidades SI (e unidades gaussianas em parênteses) como
![{\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)\qquad \left(A^{a}=(\phi ,{\vec {A}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d70875e1a2658e3601a3349689cac6fcdf067b)
na qual
é o potencial elétrico, e
é o potencial magnético, um vetor potencial.
Os campos elétricos e magnéticos associados com estes quadripotenciais são:
![{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b929ec592f09a1fe7190ab4ce63eb2d2d3c5f20e)
![{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e31c3eb43c242890622e549c87984174938f265)
Ele é útil para agrupar os potenciais nesta forma porque
é um vetor covariante de Lorentz, significando que ele transforma-se do mesmo modo como as coordenadas espaço-tempo (t, x) sob transformações no grupo de Lorentz: rotações e transformação de Lorentz. Como resultado, o produto interno
![{\displaystyle A^{\alpha }A_{\alpha }=|{\vec {A}}|^{2}-{\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}\qquad \left(A^{a}A_{a}\,=|{\vec {A}}|^{2}-\phi ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dc65a2e2ff79d09e7170d7547d34fb30f1bfa4)
é o mesmo em cada quadro referencial inercial.
Frequentemente, físicos empregam a condição gauge de Lorenz
para simplificar as equações de Maxwell como:
![{\displaystyle \Box ^{2}A_{\alpha }=-\mu _{0}J_{\alpha }\qquad \left(\Box ^{2}A_{\alpha }=-{\frac {4\pi }{c}}J_{\alpha }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf14816a4dc14cc6e941789d048399f77b92669d)
onde
são os componentes do quadricorrente,
e
é o operador d'Alembertiano.
Em termos dos pontenciais escalar e vetorial, esta última equação torna-se:
![{\displaystyle \Box ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box ^{2}\phi =-4\pi \rho \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f105090daafb72054bb75c327952e3e8b6746705)
![{\displaystyle \Box ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd3deb823e7859be3e8fbccf077575fed83e8a3)
Referências
- Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
- Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN ISBN 0-471-30932-X.
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