Princípio da boa ordenação

O Princípio da boa ordenação ou princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento.^[1] Isso é o mesmo que dizer que todo subconjunto não vazio formado por números inteiros positivos possui um menor elemento. Este princípio é equivalente ao Princípio da indução.

Em teoria de conjuntos, esta noção é generalizada para a de um conjunto bem-ordenado, um conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto não vazio possui um elemento mínimo.

Na Teoria axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel [sistema denotado como "ZF sem adição de axiomas extras"], a generalização deste princípio acima é equivalente para o Axioma da Escolha, criado em 1904 pelo matemático alemão Ernst Zermelo. Este é considerado um dos axiomas mais importantes da história da Matemática, apesar de suas consequências não-construtivas e controversas (vide o Paradoxo de Banach-Tarski, entre outros).

Exemplo e motivação

Seja ${\displaystyle X\subset \mathbb {N} }$ um subconjunto não-vazio do conjunto dos números naturais. Então ${\displaystyle n_{0}\in X}$ é o elemento mínimo de X quando ${\displaystyle n_{0}\leq n,\forall n\in X}$. Se ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {N} }$ com ${\displaystyle 0\in X}$, então 0 é o elemento mínimo de X. Isto é óbvio, visto que 0 é o menor elemento de ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$.

Um elemento ${\displaystyle k\in X}$ é o elemento máximo de X quando ${\displaystyle k\geq n,\forall n\in X}$. Note que ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$ não tem um elemento máximo, logo é de se esperar que existam subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {N} \,}$ sem um maior elemento.

Prova

Seja um conjunto X subconjunto dos números naturais, ou seja, ${\displaystyle X\subset \mathbb {N} }$. Por esse princípio, existe um determinado número "n" menor ou igual a todos os elementos do conjunto X, ou seja, ${\displaystyle \exists n\leq x,\forall x\in X}$. Há duas possibilidades para o conjunto X:

1. O número 1 pertence ao conjunto X, ou seja, ${\displaystyle 1\in X}$. neste caso, 1 será o elemento mínimo do conjunto X.
   • Do contrário, existiria um número "n" pertencente ao conjunto X tal que ${\displaystyle n<1}$, ou seja, isso implicaria dizer que existe um número natural "q" tal que sua soma com "n" resultasse em 1: ${\displaystyle n<1\longrightarrow \exists q\in \mathbb {N} ,n+q=1}$ . Entretanto, a soma de dois números naturais é sempre o sucessor de algum número natural, e como 1 não é sucessor de nenhum número, essa tese contrária é um absurdo.
2. O número 1 não pertence ao conjunto X, ou seja, ${\displaystyle 1\notin X}$.
   • Seja um conjunto ${\displaystyle B}$, subconjunto dos números naturais, tal que todos os seus elementos são menores que os elementos de ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle B=\left\{b\in \mathbb {N} :b<x,\forall x\in X\right\}}$ Obviamente, ${\displaystyle 1\in B}$. Como ${\displaystyle x\in X\implies x\notin B}$ então ${\displaystyle B\neq \mathbb {N} }$ e deve existir ${\displaystyle b_{i}\in B}$ tal que ${\displaystyle b_{i}+1\notin B}$ pois do contrário o princípio da indução finita implicaria que ${\displaystyle B=\mathbb {N} }$, um absurdo. Além disso como ${\displaystyle b_{i}\in B\implies x>b_{i},\forall x\in X}$ e como ${\displaystyle b_{i}+1\notin B\implies \exists x\in X,b_{i}+1\geq x}$ então para algum ${\displaystyle x\in X,b_{i}<x\leq b_{i}+1\iff x=b_{i}+1}$, por fim se existisse ${\displaystyle a\in X,a<b_{i}+1}$como ${\displaystyle b_{i}\in B\implies b_{i}<a<b_{i}+1}$absurdo, logo existe o menor elemento de ${\displaystyle X}$, o número ${\displaystyle b_{i}+1}$.

Ver também

• Indução matemática
• Relação bem-ordenada

Referências